Matriz

por **Claudin** » Qui Mar 01, 2012 16:07

Dada as matrizes a seguir:

A = $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

B = $\begin{bmatrix} 7 & -3 & -28 \\ -2 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

C = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

Determine a matriz M, tal que AMB = C

Não sei o que fazer em um exercício desse tipo.

por **MarceloFantini** » Qui Mar 01, 2012 16:24

Seja $M = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ . Basta resolver a equação

AMB =

$= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & -3 & -28 \\ -2 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} =$

= C.

Multiplique e resolva o sistema.

por **LuizAquino** » Qui Mar 01, 2012 18:44

Claudin escreveu:Dada as matrizes a seguir:

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -28 \\ -2 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

Determine a matriz M, tal que AMB = C

Uma maneira é usar o que o colega MarceloFantini indicou.

Outra forma é perceber que:

AMB = C

$A^{-1}AMB = A^{-1}C$

$MB = A^{-1}C$

$MBB^{-1} = A^{-1}CB^{-1}$

$M = A^{-1}CB^{-1}$

Em resumo: Se AMB = C, então $M = A^{-1}CB^{-1}$ (caso A e B seja inversível).

por **MarceloFantini** » Qui Mar 01, 2012 19:02

Pela forma triangular de A é fácil perceber que seu determinante é não-nulo, portanto tem inversa. Resta descobrir se B tem inversa.

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