Numeração e Divisibilidade

[vanessaclm]

(UFRJ 03) Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42?

PS: Aqui no gabarito deu 17, não achei esse resultado!

[nathyn]

Olá, bom, como n é um número natural e pela divisão por 7 sobra 3, então temos que n = 7a + 3 (1ª)
Agora se n dividido por 6 sobra 5, então temos n = 6b + 5 (2ª)

Se vc notar verá que 42 = 6×7
Agora note que multiplicando a 1ª equação por 6 teremos 6n = 42a + 18 (3ª).
E multiplicando a 2ª por 7 teremos 7n = 42b + 35 (4ª)

Agora com esse novo sistema (com a 3ª e a 4ª equação) usamos o método da subtração, ficando:

7n - 6n = 42b + 35 - 42a - 18
n = 42b - 42a + 35 - 18
n = 42(b- a) + 17. Veja que o modelo dessa equação é semelhando a 1ª e a 2ª, logo pela lógica vemos que o 17 é o resto dessa divisão.

Espero ter ajudado...