Matriz

por **Claudin** » Seg Fev 27, 2012 18:04

Não sei se o resultado a seguir está correto, alguém ajuda?

$\begin{cases} 2x - 3y + z + 7w = -1\\ -2x + 3y + 0z + 4w = 2\\ -x + 5y + 4z - 3w = 1\\ 2x + 4y + 9z - 3w = 0 \end{cases}$

por **Claudin** » Seg Fev 27, 2012 18:27

$\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 & -1\\ -2 & 3 & 0 & 4 & 2\\ -1 & 5 & 4 & -3 & 1\\ 2 & 4 & 9 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

1º Passo
$L_1 \leftarrow L_1 + L3$

$\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 & -1\\ -2 & 3 & 0 & 4 & 2\\ -1 & 5 & 4 & -3 & 1\\ 2 & 4 & 9 & -3 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ -2 & 3 & 0 & 4 & 2\\ -1 & 5 & 4 & -3 & 1\\ 2 & 4 & 9 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

2º Passo
$L_2 \leftarrow 2L_1 + L2$
$L_3 \leftarrow L_1 + L3$
$L_4 \leftarrow -2L_1 + L4$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ -2 & 3 & 0 & 4 & 2\\ -1 & 5 & 4 & -3 & 1\\ 2 & 4 & 9 & -3 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ 0 & 7 & 10 & 12 & 2\\ 0 & 7 & 9 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix}$

3º Passo
$L_2 \leftarrow \frac{1}{7}L_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ 0 & 7 & 10 & 12 & 2\\ 0 & 7 & 9 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 7 & 9 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix}$

4º Passo
$L_1 \leftarrow -\frac{15}{7}L_3 + L_1$
$L_1 \leftarrow -\frac{10}{7}L_3 + L_2$
$L_1 \leftarrow L_3 + L_4$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 7 & 9 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{15}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 0 & -1 & -10 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix}$

5º Passo
$L_3 \leftarrow -L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{15}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 0 & -1 & -10 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{15}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix}$

6º Passo
$L_1 \leftarrow -\frac{15}{7}L_3+L_1$
$L_2 \leftarrow -\frac{10}{7}L_3+L_2$
$L_4 \leftarrow L_3 + L_4$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{15}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{146}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{88}{7} & -\frac{8}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

7º Passo
$L_4 \leftarrow -L_4$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{146}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{88}{7} & -\frac{8}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{146}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{88}{7} & -\frac{8}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

8º Passo
$L_1 \leftarrow \frac{146}{7}L_4+L_1$
$L_2 \leftarrow \frac{88}{7}L_4+L_2$
$L_3 \leftarrow -10L_4 + L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{146}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{88}{7} & -\frac{8}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{165}{7}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{96}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 11\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 23:17

Claudin escreveu:Não sei se o resultado a seguir está correto, alguém ajuda?

$\begin{cases} 2x - 3y + z + 7w = -1\\ -2x + 3y + 0z + 4w = 2\\ -x + 5y + 4z - 3w = 1\\ 2x + 4y + 9z - 3w = 0 \end{cases}$

Claudin escreveu: $\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 & -1\\ -2 & 3 & 0 & 4 & 2\\ -1 & 5 & 4 & -3 & 1\\ 2 & 4 & 9 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

1º Passo
$L_1 \leftarrow L_1 + L3$

$\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 & -1\\ -2 & 3 & 0 & 4 & 2\\ -1 & 5 & 4 & -3 & 1\\ 2 & 4 & 9 & -3 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ -2 & 3 & 0 & 4 & 2\\ -1 & 5 & 4 & -3 & 1\\ 2 & 4 & 9 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

2º Passo
$L_2 \leftarrow 2L_1 + L2$
$L_3 \leftarrow L_1 + L3$
$L_4 \leftarrow -2L_1 + L4$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ -2 & 3 & 0 & 4 & 2\\ -1 & 5 & 4 & -3 & 1\\ 2 & 4 & 9 & -3 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ 0 & 7 & 10 & 12 & 2\\ 0 & 7 & 9 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix}$

3º Passo
$L_2 \leftarrow \frac{1}{7}L_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ 0 & 7 & 10 & 12 & 2\\ 0 & 7 & 9 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 7 & 9 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix}$

4º Passo
$L_1 \leftarrow -\frac{15}{7}L_3 + L_1$
$L_1 \leftarrow -\frac{10}{7}L_3 + L_2$
$L_1 \leftarrow L_3 + L_4$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 & 0\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 7 & 9 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{15}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 0 & -1 & -10 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix}$

5º Passo
$L_3 \leftarrow -L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{15}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 0 & -1 & -10 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{15}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix}$

6º Passo
$L_1 \leftarrow -\frac{15}{7}L_3+L_1$
$L_2 \leftarrow -\frac{10}{7}L_3+L_2$
$L_4 \leftarrow L_3 + L_4$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{15}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & \frac{10}{7} & \frac{12}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -11 & 0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{146}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{88}{7} & -\frac{8}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

7º Passo
$L_4 \leftarrow -L_4$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{146}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{88}{7} & -\frac{8}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{146}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{88}{7} & -\frac{8}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

8º Passo
$L_1 \leftarrow \frac{146}{7}L_4+L_1$
$L_2 \leftarrow \frac{88}{7}L_4+L_2$
$L_3 \leftarrow -10L_4 + L_3$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{146}{7} & -\frac{4}{7}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{88}{7} & -\frac{8}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{165}{7}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{96}{7}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 11\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

Você sabe conferir a solução de um sistema de equações?

Por exemplo, considere o sistema abaixo:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Se for afirmado que a solução desse sistema é x = 3 e y = 2, você sabe conferir se isso é verdade?

Pois bem, se você souber fazer isso, então você pode conferir se a solução do sistema que você tentou resolver é:

$x = -\dfrac{165}{7}$

$y = -\dfrac{96}{7}$

z = 11

Caso você não saiba como conferir a solução de um sistema, basta informar isso em sua próxima mensagem. Nesse caso, eu explicarei como proceder.

Por fim, eu aproveito para lhe dar uma dica. No WolframAlpha você pode escalonar uma matriz pelo método de Gauss-Jordam. Para isso, siga os passos:

acesse a página WolframAlpha;
no campo de entrada, digite o comando:
Código: Selecionar todos
row reduce {{2, -3, 1, 7, -1}, {-2, 3, 0, 4, 2}, {-1, 5, 4, -3, 1}, {2, 4, 9, -3, 0}}
clique no botão "=";
aguarde a página ser carregada;
ao lado do resultado apresentado, clique no botão "Show steps";
Pronto! Basta você comparar a sua resolução com a que for apresentada na página.

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