Razão e Proporção

por **ViniRFB** » Dom Fev 19, 2012 22:26

Olá estou com dúvida sobre como fazer essa questão por sistema.
Eu tenho a resolução dela por sistema, mas não entendi como o professor fez para achar a resposta.

A questão é a seguinte:
Certo dia, dois técnicos judiciários - A e B - foram incumbidos de digitar as páginas de um texto e dividiram o total de páginas entre si, em partes inversamentes proporcionais às suas respectivas idades: 24 e 36 anos. Se, ao término dessa tarefa, o número de páginas digitadas por A excedia em 38 unidades, a metade do número de páginas digitadas por B, então o total de páginas do texto era:

Gabarito:

95 páginas

Resolução do prof.

a / 1/2 = b /1/3 ele achou depois 2a=3b. Por quê? Não seria 2b=3a?

O sistema dele ficou assim:

a=b/2 + 38
2a=3b

método por substituição. A partir daí não entendi mais nada.

Conto com ajuda de todos.

Grato

ViniRFB

por **fraol** » Dom Fev 19, 2012 23:34

Resolução do prof.
a / 1/2 = b /1/3 ele achou depois 2a=3b. Por quê? Não seria 2b=3a?

Presumo que o professor raciocinou assim: 24 = 2 . 12

e

então ele cancelou os

e usou o

e

para fazer a proporcionalidade inversa, assim:

$\frac{A}{\frac{1}{2}} = \frac{B}{\frac{1}{3}}$ e portanto 2A = 3B

( lembre-se que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso da fração ).

O sistema dele ficou assim:

a=b/2 + 38
2a=3b

Ele usou o enunciado

ao término dessa tarefa, o número de páginas digitadas por A excedia em 38 unidades, a metade do número de páginas digitadas por B

que traduzindo para a linguagem matemática ficou assim:
$A = \frac{B}{2} + 38$ e também usou a expressão encontrada pela proporcionalidade inversa para formar o sisteminha.

Desenvolvendo: $A = \frac{B}{2} + 38 \iff A = \frac{B + 38 . 2 }{2} \iff 2A = B + 76$ .
Depois disso é substituir na 2a. equação do sisteminha, fazer as contas e achar a reposta.

Agora é com você.

por **ViniRFB** » Seg Fev 20, 2012 12:18

Amigão, Fraol!

Quero primeiro agradecer a sua ajuda.

Agora quero dizer que ainda ficaram alguns pontos confusos na minha cabeça, a dificuldade é de ensino fundamental. Sabe algum livro que trate disso para eu me aprofundar?

Então as dúvidas ainda persistem nos seguintes aspectos.

fraol escreveu:
Resolução do prof.
a / 1/2 = b /1/3 ele achou depois 2a=3b. Por quê? Não seria 2b=3a?

Presumo que o professor raciocinou assim: e então ele cancelou os e usou o e para fazer a proporcionalidade inversa, assim:

$\frac{A}{\frac{1}{2}} = \frac{B}{\frac{1}{3}}$ e portanto ( lembre-se que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso da fração ).

O sistema dele ficou assim:

a=b/2 + 38
2a=3b

Ele usou o enunciado
ao término dessa tarefa, o número de páginas digitadas por A excedia em 38 unidades, a metade do número de páginas digitadas por B

que traduzindo para a linguagem matemática ficou assim:
$A = \frac{B}{2} + 38$ e também usou a expressão encontrada pela proporcionalidade inversa para formar o sisteminha.

Desenvolvendo: $A = \frac{B}{2} + 38 \iff A = \frac{B + 38 . 2 }{2} \iff 2A = B + 76$ .
Depois disso é substituir na 2a. equação do sisteminha, fazer as contas e achar a reposta.

Como fizeste essa resolução no passo a passo? teria como me ensinar? Pegaste essa equação e multiplicou por dois, graças ao dois que antes estava dividindo por B é isso? E como ficou permanecendo o denominador 2? Não saquei, mas acredito que tenha sido graças a proporcionalidade né? (lembre-se que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso da fração ), vc disse isso antes. Como eu faço isso?

Então ainda conto com você

Muito obrigado.

ViniRFB

por **LuizAquino** » Seg Fev 20, 2012 12:57

ViniRFB escreveu:Agora quero dizer que ainda ficaram alguns pontos confusos na minha cabeça, a dificuldade é de ensino fundamental. Sabe algum livro que trate disso para eu me aprofundar?

Esse assunto é identificado por "razões e proporções". Basta você procurar por algum livro (ou outro material) que aborde esse tópico. Por exemplo, vide a referência:

Tinoco, Lúcia. A. A. Razões e Proporções. Rio de Janeiro, Editora UFRJ, 1996.

Eu recomendo também que você assista as videoaulas do Nerckie sobre esse assunto. O título da aula é "Matemática Zero - Aula 15 - Razões e Proporções". Além dessa videoaula, seria interessante você assistir também "Matemática - Aula 22 - Introdução aos Sistemas Lineares".

Todas essas aulas estão disponíveis no canal dele no YouTube:

http://www.youtube.com/nerckie

por **ViniRFB** » Seg Fev 20, 2012 16:33

Muito obrigado Professor.

Nossa matemática financeira e estatística é muito mais fácil que esses temas. Mas chegarei lá.

Grato

ViniRFB

por **ViniRFB** » Seg Fev 20, 2012 17:03

Eu quero saber a parte de inversamente proporcional!

Só isso amigos!

por **fraol** » Seg Fev 20, 2012 18:55

ViniRFB escreveu:Eu quero saber a parte de inversamente proporcional!
Só isso amigos!

Grandezas inversamente proporcionais são aquelas nas quais quando uma cresce a outra decresce, na mesma proporção para ser mais preciso.

No caso do seu problema o total de páginas foi dividido em partes inversamente proporcionais às idades de A e B que são 24 e 36 anos respectivamente. Isto significa que A receberá uma quantidade maior de páginas, pois tem a idade menor. Toda vez que ocorrer uma situação dessas, matematicamente, você descreve-a assim:

Sejam A e B as quantidades de páginas proporcionalmente inversas a 24 e 26, então temos que:

$\frac{A}{\left(\frac{1}{24}\right)} = \frac{B}{\left(\frac{1}{36}\right)}$ .

Agora é necessário rearranjar essa expressão para, quem sabe, torná-la mais simples. Vamos fazer isso, lembrando o que disse numa ajuda anterior sobre multiplicar pelo inverso da fração quando estamos dividindo por uma:

$\frac{A}{\left(\frac{1}{24}\right)} = \left( \frac{A}{1} \right) \left( \frac{24}{1} \right) = 24A$ e

$\frac{B}{\left(\frac{1}{36}\right)} = \left( \frac{B}{1} \right) \left( \frac{36}{1} \right) = 36B$ , igualando teremos:

$24A = 36B \iff \frac{24A}{12} = \frac{36B}{12} \iff 2A = 3B$ .

Dividimos por 12, que é o máximo divisor comum de 12 e 36, para simplificar.

Isso ajuda?

Um comentário adicional: Matemática é uma disciplina cumulativa, isto é, um novo conhecimento se forma em cima de um anterior ou usa resultados anteriores na sua formação. Assim, seria bom você rever esses conceitos preliminares ( frações, proporcionalidade, etc. ) para fundar uma boa base na disciplina. Não deixe de seguir as dicas do professor LuizAquino.

por **ViniRFB** » Seg Fev 20, 2012 19:24

Fraol.

Olá muito obrigado por mais essa ajuda.

Tenho certeza que não fui claro na minha dúvida.

Desde já agradeço, já estou na procura de um professor de matemática particular, porque senão eu vou de mal a pior.

O fogo que tenho prazo e está difícil, mas vamos lá.

Quero mais uma vez agradecer a todos, mas minha dúvida não é sobre a proporcionalidade em si, mas como resolver a parte que me referi sobre o número dois(2) no denominador que ainda permaneceu sendo que ele multiplicou o número 38. Foi aplicado o quê ali - quando ele multiplicou o 38 e assim não deveria ter sumindo no denominador? Pois quando foi multiplicado 2 que estava sendo divido por B ele teria que ter sumido e não sumiu essa é minha dúvida eu acho que agora deu para ficar mais claro e peço desculpas pela falta de clareza anteriormente!

Serei eternamente grato pela consideração de todos.

ViniRFB

por **LuizAquino** » Ter Fev 21, 2012 17:29

ViniRFB escreveu:(...) como resolver a parte que me referi sobre o número dois(2) no denominador que ainda permaneceu sendo que ele multiplicou o número 38. Foi aplicado o quê ali - quando ele multiplicou o 38 e assim não deveria ter sumindo no denominador? Pois quando foi multiplicado 2 que estava sendo divido por B ele teria que ter sumido e não sumiu essa é minha dúvida (...)

Eu presumo que você se refere a essa passagem:

$A = \frac{B}{2} + 38 \iff A = \frac{B + 38 \cdot 2 }{2}$

Esqueça por enquanto esse desenvolvimento.

Você sabe como calcular a soma entre uma fração e um número inteiro?

Por exemplo, quanto vale $\frac{15}{2} + 20$ ?

Ora, para fazer essa operação precisamos primeiro tirar o mmc entre os denominadores, que nesse caso são 2 e 1 (lembre que 20 pode ser reescrito como $\frac{20}{1}$ ).

O mmc entre 2 e 1 é igual a 2.

Devemos então dividir o mmc por cada um dos denominadores e o resultado de cada divisão multiplicar pelos respectivos numeradores. Ou seja, temos que:

$\displaystyle \frac{15}{2} + 20 = \frac{15\cdot 1 + 20 \cdot 2}{2} = \frac{15 + 40}{2} = \frac{55}{2}$

Note que o número 2 permanece no denominador ao final do processo. Ele não simplesmente "desaparece".

Agora use o mesmo raciocínio para calcular a soma $\frac{B}{2} + 38$ .

por **ViniRFB** » Ter Fev 21, 2012 20:05

Isso mesmo professor estava suspeitando que poderia ser mmc mesmo.

Sei sim resolver, não tenho palavras para agradecer amigão, sinceramente meu muito obrigado mesmo.

Não estou desmerecendo nenhuma outra resolução dos professores, é que realmente eu não tinha sido claro como deveria e quando fui você matou a charada para mim.

Cara serei eternamente grato pela ajuda.

Valeu to feliz para caramba. RSRSRSR

Grato

ViniRFB