[Prova por Indução] Progressão Aritmético-Geométrica

por **MateusDantas1** » Qui Fev 16, 2012 15:07

Uma progressão aritmético-geométrica é uma sequência (a_n)

tal que

e

são números reais dados, com q diferente de 1 , e, para todo n inteiro, n > 0, tem-se que:

$a_{n+1}=qa_n + r$

(A) Mostre por indução que $a_n=a_1q^{n-1}+r(q^{n-1}-1)/q-1$

Eu ja provei a igualdade verdadeira para n=1:

a_1

=

$q^{1-1}$

$(q^{1-1}-1)/q-1$
=> a_1=a_1 + r * 0

=>

verdade.

Suponhamos esta igualdade verdade para algum n. Para n + 1:

$a_{n+1} = a_1q^n + r(q^n-1)/q-1$ . Tentei resolver porém não consigo fazer a prova utilizando recorrência. Alguém pode me ajudar?

por **fraol** » Qui Fev 16, 2012 19:11

Use a hipótese de indução $a_n = \frac{ a_1q^{n-1} +r(q^{n-1}-1) } {q-1}$

e a substitua na expressão dada $a_{n+1} = qa_n + r$ ,

que ao desenvolver, você chegará no resultado desejado.

por **RicardoSouza** » Sex Fev 17, 2012 15:38

Peço, que por gentileza, alguém mostre ao menos mais um passo desta prova, pois já realizei vários cálculos e não obtive sucesso.

Grato,

por **RicardoSouza** » Sex Fev 17, 2012 15:38

Peço, que por gentileza, alguém mostre ao menos mais um passo desta prova por indução, pois já realizei vários cálculos e não obtive sucesso.

Grato,

por **fraol** » Sex Fev 17, 2012 16:04

Você chegou em $a_{n+1} = \frac{ a_1q^{n} +r(q^{n}-1) } {q-1}$

Foi dado que $a_{n+1} = qa_n + r$

E a hipótese de indução é que $a_n = \frac{ a_1q^{n-1} +r(q^{n-1}-1) } {q-1}$

Então substituindo a hipótese na expressão $a_{n+1} = qa_n + r$ temos:

$a_{n+1} = q \frac{ a_1q^{n-1} +r(q^{n-1}-1) } {q-1} + r$

Agora desenvolvemos:

$a_{n+1} = \frac{ a_1q^{n-1}q +rq(q^{n-1}-1) + r(q -1) } {q-1}$ .

Você pode continuar. Ao terminar o desenvolvimento, você chegará à sua expressão o que prova a tese da indução.

Isso ajuda?

por **RicardoSouza** » Sex Fev 17, 2012 16:45

Melhorou um pouco meus cálculos, mas ainda assim não cheguei à minha expressão.

Além do mais, achei que minha conta fosse igual à do Mateus, entretanto o q - 1

divide apenas o $q^{n-1} - 1$ , que está após o r

De qualquer maneira, obrigado pela ajuda.

por **fraol** » Sex Fev 17, 2012 16:55

fraol escreveu:
Agora desenvolvemos:

$a_{n+1} = \frac{ a_1q^{n-1}q +rq(q^{n-1}-1) + r(q -1) } {q-1}$ .

Continuando, os passos são:

$a_{n+1} = \frac{ a_1q^{n} +r(q^{n}-q) + r(q -1) } {q-1}$ .

$a_{n+1} = \frac{ a_1q^{n} +r(q^{n}-q + (q -1)) } {q-1}$ .

$a_{n+1} = \frac{ a_1q^{n} +r(q^{n} -1) } {q-1}$ .

Dá uma olhadinha nessa última expressão, ela é a sua expressão.

Isso ajuda?

por **RicardoSouza** » Sex Fev 17, 2012 17:05

Ajudou muito! Ainda estou decolando na indução(e na matemática), sempre cometo algum erro com as incógnitas...enfim..

Obrigado, vou revê-la e tentar resolver as próximas pelo método indutivo.

por **MateusDantas1** » Sex Fev 17, 2012 20:39

ae galera, obrigado, agora eu entendi.

por **RicardoSouza** » Sex Fev 17, 2012 22:32

MateusDantas1 escreveu:ae galera, obrigado, agora eu entendi.

Mateus, você conseguiu o item (b)?

por **Victor Neumann** » Qui Fev 23, 2012 21:57

Prezados Alunos,

Vocês deviam postar estas dúvidas no fórum do PIC2010, pois o seu moderador é o único autorizado a lhes dar as dicas que ele julgar necessárias.

Esta tarefa ficará aberta até o dia 11 de março de 2012, peço por favor que não continuem resolvendo este problema até esta data.

Agradeço pela atenção,
Victor Neumann