Demostração da Regra do Trapézio

por **ARCS** » Sex Fev 10, 2012 19:12

Estou estudando as demonstrações dos métodos de integração numérica, um destes métodos é a Regra do Trapézio (RT). A demostração da RT pode ser feita usando o polinômio de Newton ou de Lagrange (os mesmos usados para interpolação). O problema é que eu não entendi a seguinte passagem ( o cálculo de um simples integral) :

$\int_{a}^{b} f[a,b] (x-a) dx = f[a,b] \left[ \frac{(x-a)^2}{2}\right]_{a}^{b}$ (1)

isso não seria $\int_{a}^{b} f[a,b] (x-a) dx = f[a,b] \left[ \frac{x^2}{2}-ax\right]_{a}^{b}$ (2)

Usando (1) chega-se a fórmula correta.

por **LuizAquino** » Sáb Fev 11, 2012 11:34

ARCS escreveu: $\int_{a}^{b} f[a,b] (x-a) \, dx = f[a,b] \left[ \frac{(x-a)^2}{2}\right]_{a}^{b}$ (1)

isso não seria $\int_{a}^{b} f[a,b] (x-a) \, dx = f[a,b] \left[ \frac{x^2}{2}-ax\right]_{a}^{b}$ (2)

Tanto faz.

Usando a substituição u = x - a e du = dx, temos que:

$\int x -a \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + c = \frac{(x-a)^2}{2} + c$

Podemos ainda resolver a integral de outra forma:

$\int x-a \,dx = \int x \, dx - \int a \,dx = \frac{x^2}{2} - ax + c$

Ambas as primitivas são corretas. Além disso, note que:

$\int_a^b x -a \, dx = \left[\frac{(x-a)^2}{2}\right]_a^b = \frac{(b-a)^2}{2}$

$\int_a^b x - a \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - ax\right]_a^b = \frac{b^2}{2} - ab - \frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{b^2 -2ab + a^2}{2} = \frac{(b-a)^2}{2}$

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