[Limites] - Questões teóricas 2

por **Scheu** » Sex Fev 03, 2012 00:32

Desculpem postar uma nova pegunta, mas é que essas questões estão tirando meu sono. Nos exercícios que estou estudando tem a seguinte questão: Demostre que $\lim_{x\rightarrow a}\left[f(x)+g(x) \right]$ pode existir, mesmo que $\lim_{x\rightarrow a}f(x) e \lim_{x\rightarrow a}g(x)$ não existam. Minha duvida esta se essa preposição é realmente verdadeira? Por quê? Mais uma vez obrigada.

por **LuizAquino** » Sex Fev 03, 2012 00:58

Scheu escreveu:Nos exercícios que estou estudando tem a seguinte questão: Demostre que $\lim_{x\rightarrow a}\left[f(x)+g(x) \right]$ pode existir, mesmo que $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ e $\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ não existam. Minha duvida esta se essa preposição é realmente verdadeira? Por quê?

Em alguns casos a resposta é sim: o limite dessa soma pode existir mesmo que o limite de cada parcela não exista.

Exemplo

Considere as funções:

$f(x) = \begin{cases} -1,\textrm{ se }x < 0 \\ 1,\textrm{ se }x \geq 0 \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 3,\textrm{ se }x < 0 \\ 1,\textrm{ se }x \geq 0 \end{cases}$

Note que $\lim_{x\to 0} f(x)$ e $\lim_{x\to 0}g(x)$ não existem (já que os seus limites laterais são distintos).

Por outro lado, temos que:

$\lim_{x\to 0} [f(x) + g(x)] = \lim_{x\to 0} 2 = 2$

Portanto, obtemos que $\lim_{x\to 0} [f(x) + g(x)]$ existe.

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