[Limite trigonométrico]

por **Ana_Rodrigues** » Qui Jan 26, 2012 18:54

Quero saber por que $\lim_{x\rightarrow0}sen\frac{\pi}{x}$ oscila entre 1 e -1
Por que o período do gráfico do seno diminui a medida que x se aproxima de zero?

Agradeço desde já a quem me ajudar a entender!

por **fraol** » Qui Jan 26, 2012 19:36

Vamos analisar um pouco o caso da oscilação.

Antes de mais nada, não se pode falar que o $\lim_{x->0}sen\frac{\pi}{x}$ oscila entre 1 e -1, uma vez que este limite não existe, se existisse não estaria oscilando, a função oscila.

A oscilação ocorre pois $\frac{\pi}{x}$ cresce ilimitadamente quando x tende a 0 ( ou descresce ilimitadamente no caso de x tender a zero pela esquerda ).

Em qualquer caso, haverá inúmeros casos de x que tornam $\frac{\pi}{x}$ um número múltiplo de $\frac{\pi}{2}$ ou múltiplo de $\frac{ 3 \pi}{2}$ , casos em que o seno é 1 e -1 respectivamente.

por **Ana_Rodrigues** » Qui Jan 26, 2012 20:00

Eu entendi a resposta, mas ainda tenho dúvida quanto ao gráfico!
Tipo numa ilustração aqui no livro os períodos perto de zero são bem pequenos. Sendo que a condição para que um gráfico seja comprimido horizontalmente é: y=f(cx).

por **fraol** » Qui Jan 26, 2012 20:47

Analisando o período da função, com base nessa abordagem mais comum do coeficiente que multiplica a variável x, poderíamos supor que a função $y = sen { \frac{\pi}{x} } = sen { \frac{\pi x }{x^2} }$ e aí teríamos que o coeficiente de x é $\frac{\pi }{x^2}$ , que descresce mais e mais à medida que x tende a 0. Na verdade, estamos tratando de uma função caótica.

Prefiro analisar assim: $\frac{\pi}{x}$ tem grandes incrementos no seu valor quando fazemos x tender a 0, mesmo lentamente. Em outras palavras, a função oscila rapidamente à medida que x se aproxima de 0. Assim sua frequência aumenta rapidamente. Como o Período é o inverso da Frequência, temos que o período diminui rapidamente.

(editando para concluir)

Isso explica por que o gráfico tem linhas cada vez maiz próximas ( período pequeno ) e em uma quantidade muito grande ( frequência grande ).

É isso.