Calcule a matriz formada pelos coeficientes abaixo

por **andersontricordiano** » Qua Jan 04, 2012 15:52

Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo:

? x + y + z = ? + 2
x + ?y + z = ? + 2
x + y + ?z = ? + 2

a) Ache as raízes da equação det A=0 ( Sugestão x³-3x+2= x³-x-2x+2 e fatore)
b) Ache a solução geral para ?=-2

Respostas:

a) 1 e -2
b) S= {( $\alpha,\alpha,\alpha$ )}

Agradeço quem resolver!

por **Arkanus Darondra** » Qua Jan 04, 2012 20:23

andersontricordiano escreveu:Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo:

? x + y + z = ? + 2
x + ?y + z = ? + 2
x + y + ?z = ? + 2

a) Ache as raízes da equação det A=0 ( Sugestão x³-3x+2= x³-x-2x+2 e fatore)

$A = \begin{bmatrix}{\lambda} & 1 & 1 \\ 1 & {\lambda} & 1 \\ 1 & 1 & {\lambda}\end{bmatrix} \Rightarrow DetA = {\lambda}^3 + 3{\lambda} + 2 = {\lambda}^3 - {\lambda}^2 + {\lambda}^2 - {\lambda} - 2{\lambda} + 2 \Rightarrow {\lambda}^2({\lambda} - 1) + {\lambda}({\lambda} - 1) - 2 ({\lambda} - 1) \Rightarrow ({\lambda}^2 + {\lambda} - 2) ({\lambda} - 1)$

Para DetA = 0, temos que
$({\lambda}^2 + {\lambda} - 2) ({\lambda} - 1) = 0$
Logo, alguma das duas equações, ou ambas, devem ser 0
Para $({\lambda}^2 + {\lambda} - 2) = 0$ , temos ${\lambda} = 1$ ou ${\lambda} = -2$
Para $({\lambda} - 1) = 0$ , temos ${\lambda} = 1$
Logo, ${\lambda} = 1$ ou

andersontricordiano escreveu:b) Ache a solução geral para ?=-2

Uma das maneiras de resolver este item é escalonando o sistema (após substituir o valor da incógnita)
$\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 &-2 & 0\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Como a última linha do sistema é nula, temos um SPI
Agora, basta adotar $z = {\alpha}$ e subtituir no sistema.

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