[Integração por Partes] Integral indefinida...

por **luiz_henriquear** » Sáb Dez 31, 2011 14:35

$\int_{}^{} e^x . cos(x/2)$ tenho que resolver essa integral. Tentei a ajuda do wolframalpha, porém lá não se resolve por partes. Espero que possam ajudar

por **LuizAquino** » Sáb Dez 31, 2011 14:58

luiz_henriquear escreveu: $\int_{}^{} e^x . cos(x/2)$ tenho que resolver essa integral.

Usando

, $du = e^x \, dx$ , $dv = \cos \left(\frac{x}{2}\right) \,dx$ e $v = 2\,\textrm{sen}\, \left(\frac{x}{2}\right)$ temos que:

$\int e^x\cos \left(\frac{x}{2}\right) \,dx = 2e^x\textrm{sen}\,\left(\frac{x}{2}\right) - 2 \int e^x\textrm{sen}\,\left(\frac{x}{2}\right) \,dx$

Usando $\overline{u} = e^x$ , $d\,\overline{u} = e^x \, dx$ , $d\,\overline{v} = \textrm{sen}\, \left(\frac{x}{2}\right) \,dx$ e $\overline{v} = -2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ temos que:

$\int e^x\cos \left(\frac{x}{2}\right) \,dx = 2e^x\textrm{sen}\,\left(\frac{x}{2}\right) +4e^x\cos \left(\frac{x}{2}\right) - 4 \int e^x \cos \left(\frac{x}{2}\right)\,dx$

$5 \int e^x \cos \left(\frac{x}{2}\right)\,dx = 2e^x\textrm{sen}\,\left(\frac{x}{2}\right) +4e^x\cos \left(\frac{x}{2}\right)$

$\int e^x \cos \left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \frac{2}{5}e^x\left[\textrm{sen}\,\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right] + c$