Processo de ortonormalização por Gram-Schimidt

por **Priscila_moraes** » Qua Dez 21, 2011 07:52

Bom dia, pessoal

estou com uma dúvida nesse processo de ortonormalização por Gram-Schimidt, cheguei para encontrar o w3 e não consegui resolver, tirei a prova real mas acredito que tenho algum erro

$v1=\left(1,0,0 \right)$ $v1=\left(3,7,-2 \right)$ $v1=\left(0,4,1 \right)$

$w1=v1 \left(1,0,0 \right)$
$v2.w1=\left(1,0,0 \right).\left(3,7,-2 \right)=3$
$w1.w1=\left(1,0,0 \right).\left(1,0,0 \right)=1$

$w2=v2-\left(\frac{3}{1} \right).\left(1,0,0 \right)$
$w2=\left(3,7,-2 \right)-\left(\frac{3}{1},0,0 \right)$
$w2=\left(3-\frac{3}{1},7-0,-2-0 \right) w2=\left(0,7,-2 \right)$ $w2=\left(3-\frac{3}{1},7-0,-2-0 \right) w2=\left(0,7,-2 \right)$

$w3=\left(1,0,0 \right)-\left[\frac{26}{53} \right].\left(0,7,2 \right)-\left[\frac{0}{1} \right].\left(1,0,0 \right)$

$w3=\left(1,0,0 \right)-\left[\frac{234}{53} \right]-\left(0,0,0 \right)$
$\left[\left(1,0,0 \right)-\left(\frac{0-182-0}{53} \right)-\left(\frac{0-52+0}{53} \right)\right]$

por **LuizAquino** » Qua Dez 21, 2011 09:41

Priscila_moraes escreveu:estou com uma dúvida nesse processo de ortonormalização por Gram-Schimidt, cheguei para encontrar o w3 e não consegui resolver, tirei a prova real mas acredito que tenho algum erro

$v1=\left(1,0,0 \right)$ $v1=\left(3,7,-2 \right)$ $v1=\left(0,4,1 \right)$

Eu presumo que você queria dizer:

$\vec{v}_1 = \left(1,0,0 \right)$

$\vec{v}_2 = \left(3,7,-2 \right)$

$\vec{v}_3= \left(0,4,1 \right)$

Para aplicar o processo de ortonormalização por Gram-Schimidt, devemos seguir os passos abaixo.

Passo 1)

$\vec{w}_1 = \vec{v}_1 = \left(1,0,0 \right)$

$\vec{w}_2 = \vec{v}_2 - \frac{\vec{w}_1\cdot \vec{v}_2}{\vec{w}_1\cdot \vec{w}_1} \vec{w}_1 = \left(3,7,-2 \right) - \frac{3}{1} \left(1,0,0 \right) = \left(0,7,-2 \right)$

$\vec{w}_3 = \vec{v}_3 - \frac{\vec{w}_1\cdot \vec{v}_3}{\vec{w}_1\cdot \vec{w}_1} \vec{w}_1 - \frac{\vec{w}_2\cdot \vec{v}_3}{\vec{w}_2\cdot \vec{w}_2} \vec{w}_2 = \left(0,4,1 \right) - \frac{0}{1}\left(1,0,0 \right) - \frac{26}{53}\left(0,7,-2 \right)$ $= \left(0,\frac{30}{53}, \frac{105}{53} \right)$

Passo 2)

$\vec{u}_1 = \frac{1}{\left\Vert \vec{w}_1\right\Vert}\vec{w}_1 = \left(1,0,0 \right)$

$\vec{u}_2 = \frac{1}{\left\Vert \vec{w}_2\right\Vert}\vec{w}_2 = \frac{1}{\sqrt{53}}\left(0,7,-2 \right)$

$\vec{u}_3 = \frac{1}{\left\Vert \vec{w}_3\right\Vert}\vec{w}_3 = \frac{\sqrt{53}}{15}\left(0,\frac{30}{53}, \frac{105}{53} \right)$