Problemas de derivadas

por **paolaads** » Seg Nov 07, 2011 21:34

Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras).
Tenho dificuldade de desenvolver o problema, tipo eu faço a área de cada um, mas como eu calculo a área de um círculo?
área:x.y
perímetro:2x.2y
o que vale 4 metros?

por **procyon** » Seg Nov 07, 2011 21:59

O seu problema está estranho, o que é que ele pede mesmo ? Você está certa que digitou o problema corretamente?

Você tem um fio de comprimento L = 4
Divide esse fio em um pedaço qualquer, como representado abaixo:
|--------------|---------------------|

Um dos pedaços será x, o outro será L-x

A área do círculo é (pi)x(raio ao quadrado)
A área do quadrado é (lado ao quadrado) e não x.y. Você poderia chamar a área de x.y se fosse um trapézio, onde a base e altura tem tamanhos diferentes.

Até onde você escreveu eu faria o problema assim:
L = 4

Círculo = L-x = (pi)x(raio ao quadrado) ou seja;
Círculo = 4 - x = (pi)x(raio ao quadrado)

E a área do quadrado seria x ao quadrado.

Agora, não entendi o que o seu problema está pedindo!

por **paolaads** » Ter Nov 08, 2011 00:51

O problema por completo seria este:

8- Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras). Como devemos cortar o arame para que as somas das áreas englobadas pelos dois
pedaços seja:

a) Máxima?
b) Mínima?

por **LuizAquino** » Qua Nov 09, 2011 16:49

Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras)

Se um pedaço x for usado para formar o quadrado, então temos que um pedaço 4-x será usado para formar o círculo.

Como devemos cortar o arame para que as somas das áreas englobadas pelos dois
pedaços seja:
a) Máxima?
b) Mínima?

Sabemos que se L é o lado de um quadrado, então o seu perímetro vale 4L. Sendo assim, temos que:

$4L = x \Rightarrow L = \frac{x}{4}$

Por outro lado, sabemos que se R é o raio de uma circunferência, então o seu comprimento vale $2\pi R$ . Sendo assim, temos que:

$2\pi R = 4 - x \Rightarrow R = \frac{4 - x}{2\pi}$

A soma das áreas, dependendo do valor x, será dada por

$S(x) = L^2 + \pi R^2 \Rightarrow S(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(4-x)^2}{4\pi}$

Considere que o domínio de S seja D = [0, 4]. Nesse caso, x = 0 significa que fizemos apenas um círculo com o arame. Por outro lado, x = 4 significa que fizemos apenas um quadrado com o arame. Em ambos os casos, nós "dividimos" o arame em dois pedaços: um pedaço com comprimento 0; um pedaço com comprimento 4.

Agora, para achar o máximo ou o mínimo de f, utilize o Método do Intervalo Fechado:

determine os pontos críticos de f. Isto é, os pontos x = c tais que $f^\prime(c) = 0$ ou $f^\prime(c)$ não existe;
calcule o valor de f nos seus pontos críticos. Isto é, calcule f(c);
calcule o valor de f em 0 e em 4; Isto é, calcule f(0) e f(4);
o menor dos valores calculados nos passos 2 e 3 será o mínimo global. Já o maior dos valores será o máximo global.

por **paolaads** » Qui Nov 24, 2011 14:31

a derivada da expressão seria:
S(x)x/8+(8-x)?
A partir disso, eu testo os pontos críticos? Seria isso mesmo?
Dai os os pontos críticos seriam 8 e -8 ou estou enganada.
Muito obrigada.

por **LuizAquino** » Sex Nov 25, 2011 09:33

paolaads escreveu:a derivada da expressão seria:
S(x)x/8+(8-x)?

Não. A reposta correta é:

$S^\prime(x) = \frac{x}{8} + \frac{x-4}{2\pi}$

paolaads escreveu:A partir disso, eu testo os pontos críticos? Seria isso mesmo?
Dai os os pontos críticos seriam 8 e -8 ou estou enganada.

Resolvendo a equação $S^\prime(x) = 0$ , você irá obter que só há um ponto crítico: $x = \frac{16}{\pi + 4}$ .

Agora tente terminar o exercício.

por **paolaads** » Seg Nov 28, 2011 00:55

a)O quadrado não existe, todo o arame forma 1,27m²
b)1m² p/ x=0,56
Um lado é 4l/4+pi
e o outro lpi/4+pi
um círculo só com 1/2pi

a derivada segunda da quanto? só mais isso e eu paro de incomodar...
Muito obrigada pela enorme e grandiosa atenção, você é um grande professor!

por **LuizAquino** » Sáb Dez 03, 2011 14:37

paolaads escreveu:a)O quadrado não existe, todo o arame forma 1,27m²
b)1m² p/ x=0,56
Um lado é 4l/4+pi
e o outro lpi/4+pi
um círculo só com 1/2pi

Temos que:

$S(0) = \frac{0^2}{16} + \frac{(4-0)^2}{4\pi} = \frac{4}{\pi} \approx 1,27$

$S(4) = \frac{4^2}{16} + \frac{(4-4)^2}{4\pi} = 1$

$S\left(\frac{16}{\pi+4}\right) = \frac{\left(\frac{16}{\pi+4}\right)^2}{16} + \frac{\left[4-\left(\frac{16}{\pi+4}\right)\right]^2}{4\pi} = \frac{4}{4+\pi}\approx 0,56$

Portanto, a área máxima ocorre quando x = 0. Isso significa que temos apenas um círculo de raio $R=\frac{2}{\pi}$ .

Por outro lado, a área mínima ocorre quando $x=\frac{16}{\pi+4}$ . Isso significa que temos um quadrado de lado $L = \frac{4}{\pi+4}$ e um círculo de raio $R=\frac{2}{\pi+4}$ .