[Derivada] Encontrar a função

por **Aliocha Karamazov** » Sex Nov 25, 2011 22:20

Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto (0,1) e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo Ox no ponto de abscissa x+1.

Eu comecei dessa maneira:

Seja y=ax+b

a equação da reta tangente ao ponto x do gráfico. Temos que f'(x)=a

.

Pelos dados do enunciado, posso e esrever que y(x+1)=a(x+1)+b=0

Pois o ponto de abscissa (x+1) corta o eixo Ox.

Dessa maneira, $a=f'(x)=-\frac{b}{x+1}$

Como faço para encontrar a função e "me livrar" de b?

por **MarceloFantini** » Sex Nov 25, 2011 23:12

Você tentou usar a informação de que o gráfico passa pelo ponto (0,1)

e portanto a reta tangente passando por 0 deve cortando o eixo Ox no ponto de abscissa 1?

por **Aliocha Karamazov** » Sex Nov 25, 2011 23:35

Sim, tentei.

Percebi que f'(0)=-1=-f(0)

Como posso usar isso para resolver o problema?

por **LuizAquino** » Sáb Nov 26, 2011 09:04

Aliocha Karamazov escreveu:Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto (0,1) e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo Ox no ponto de abscissa x+1.

Aliocha Karamazov escreveu:Seja a equação da reta tangente ao ponto x do gráfico. Temos que .

Você está confundindo o "x" (fixo) onde avaliar a derivada com o "x" (variável) da equação da reta.

Para não confundir, escreva que a reta tangente a função f no ponto (x, f(x)) é dada por:

$\overline{y}=a\overline{x} + b$

Você sabe que a=f'(x)

. Além disso, essa reta deve passar no ponto (x, f(x)). Substituindo então $\overline{x}=x$ e $\overline{y}=f(x)$ , obtemos que:

$f(x) = f'(x)x + b \Rightarrow b = f(x) - f'(x)x$

Sendo assim, a equação da reta tem o formato:

$\overline{y} = f'(x)\overline{x} + (f(x) - f'(x)x)$

Por outro lado, essa reta corta o eixo Ox no ponto (x+1, 0). Dessa forma, substituindo $\overline{x}=x+1$ e $\overline{y}=0$ , obtemos que:

$0 = f'(x)(x+1) + (f(x) - f'(x)x) \Rightarrow f'(x)=-f(x)$

Note que se a função f é tal que

, então ela tem o formato $f(x)=ke^{-x}$ (tente obter essa conclusão).

Por fim, usando o fato de que o gráfico de f passa pelo ponto (0, 1), temos que:

$f(0)=1 \Rightarrow 1= k e^{-(0)} \Rightarrow k=1 \Rightarrow f(x)=e^{-x}$