[Limite] Indeterminação

por **Aliocha Karamazov** » Sex Nov 25, 2011 00:28

Pessoal, estou com problemas nesse limite:

$\lim_{x\to0^{-}}(1-\cos(x))^{\frac{1}{x}}$

Comecei assim:

$\lim_{x\to0^{-}}(1-\cos(x))^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}\ln(1-\cos(x))}}$

Então, tentei calcular $\lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}\ln(1-\cos(x))}$

$\frac{1}{x}$ vai para $-\infty$ , mas não entendi o $\ln(1-\cos(x))}$ . Isso é a mesma coisa que calcular $\lim_{x\to0^{-}}\ln(x)$ , mas essa função nem existe para x negativo. No entanto, entrei no site wolframalpha e vi isso http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +ln%28x%29.

Ou seja, $\lim_{x\to0^{-}}\ln(x)=-\infty$

Como pode isso?

por **LuizAquino** » Sex Nov 25, 2011 10:20

Aliocha Karamazov escreveu:(...)
Então, tentei calcular $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}\ln(1-\cos(x))}$

$\frac{1}{x}$ vai para $-\infty$ , mas não entendi o $\ln(1-\cos(x))}$ . Isso é a mesma coisa que calcular $\lim_{x\to 0^{-}}\ln(x)$

Não é a mesma coisa.

Observe o círculo trigonométrico abaixo.

: figura.png (4.83 KiB) Exibido 1812 vezes

Note que para x próximo de 0 pela esquerda (ou seja, x é um ângulo próximo de zero e negativo), temos que $0 < \cos x < 1$ . Isso significa que $1 - \cos x > 0$ quando $x\to 0^-$ .

Sendo assim, calcular $\lim_{x\to 0^{-}} \ln(1-\cos x)}$ seria equivalente a calcular $\lim_{x\to 0^+}\ln x$ .

Aliocha Karamazov escreveu:No entanto, entrei no site wolframalpha e vi isso http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +ln%28x%29

Ou seja, $\lim_{x\to0^{-}}\ln(x)=-\infty$

Como pode isso?

A explicação é simples: o programa errou.

Muito provavelmente o programa interpretou $\ln x$ como se fosse $\ln |x|$ .

Observação

Vale lembrar que um ângulo negativo significa que ele foi marcado no sentido horário. Já um ângulo positivo significa que ele foi marcado no sentido anti-horário. Veja um exemplo na figura abaixo.