volume de um sólido

por **Andreza** » Seg Nov 14, 2011 14:26

Qual é o volume de um sólido gerado pela rotação de um triângulo eqüilátero de lado x, ao redor de um de seus lados? :-O

Este exercício eu não sei nem como começar.
Desde já agradeço!!!

por **LuizAquino** » Sex Nov 18, 2011 10:25

Andreza escreveu:Qual é o volume de um sólido gerado pela rotação de um triângulo equilátero de lado x, ao redor de um de seus lados?

Andreza escreveu:Este exercício eu não sei nem como começar.

A figura abaixo ilustra o exercício.

: rotação_triângulo_equilátero.png (4.96 KiB) Exibido 8127 vezes

Note que o sólido gerado é formado por dois cones unidos por uma mesma base.

Agora tente terminar o exercício.

por **Andreza** » Qua Nov 23, 2011 17:08

Pra mim achar o volume de um sólido gerado pela rotação de um triangulo equilatero de lado x, ao redor de um de seus lados eu pesquisei a fórmula do volume do cone q é $\Pix{r}^{3}\sqrt[]{3}/3$ mas não tem o l pra mim substituir o lado do triangulo q é x. Qual outra fórmula eu uso?
Desde já agradeço.

por **Andreza** » Qua Nov 23, 2011 17:19

Mesmo com a figura não conseguir resolvê-lo. :idea:

por **LuizAquino** » Qua Nov 23, 2011 20:05

Andreza escreveu:Pra mim achar o volume de um sólido gerado pela rotação de um triangulo equilatero de lado x, ao redor de um de seus lados eu pesquisei a fórmula do volume do cone q é $\pi x{r}^{3}\sqrt{3}/3$ mas não tem o l pra mim substituir o lado do triangulo q é x. Qual outra fórmula eu uso?

A fórmula geral para o volume V de um cone circular reto, de raio da base r e altura h, é dada por:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

No caso particular onde o cone for gerado pela rotação de um triângulo equilátero em torno de sua altura, o volume desse cone será dado por:

$V = \frac{1}{3}\pi r^3 \sqrt{3}$ , onde o raio da base r é correspondente a metade do lado do triângulo equilátero.

Note que no caso do exercício você vai precisar usar a fórmula geral.

Andreza escreveu:Mesmo com a figura não conseguir resolvê-lo.

: rotação_triângulo_equilátero.png (6.2 KiB) Exibido 8095 vezes

Note que cada cone da figura tem raio da base igual a $\frac{x\sqrt{3}}{2}$ (que corresponde a altura h do triângulo equilátero de lado x).

Já a altura de cada cone da figura é igual a $\frac{x}{2}$ .

Usando essas informações você pode calcular o volume de cada um desses cones.

Note que o volume total corresponde a soma dos volumes de cada cone.

Agora tente terminar o exercício.

por **Andreza** » Qui Nov 24, 2011 10:45

Colocando na fórmula substituindo r por x raiz de 3 dividido por 2 eu encontrei o volume de um cone igual a 3pi x elevado a terceira dividido por 8. Multiplicando o resultado por 2 = 3pi x elevado a terceira dividido por 4. Está correto? Agradeço a ajuda.

por **LuizAquino** » Qui Nov 24, 2011 22:56

Andreza escreveu:Colocando na fórmula substituindo r por x raiz de 3 dividido por 2 eu encontrei o volume de um cone igual a 3pi x elevado a terceira dividido por 8. Multiplicando o resultado por 2 = 3pi x elevado a terceira dividido por 4. Está correto?

Note que:

$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2\frac{x}{2} \Rightarrow V = \frac{\pi x^3}{8}$

O volume total será então dado por:

$V_{\textrm{Total}} = 2V \Rightarrow V_{\textrm{Total}} = \frac{\pi x^3}{4}$

Observação

Eu recomendo que você leia o tópico:

DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode
viewtopic.php?f=9&t=74

por **Andreza** » Sex Nov 25, 2011 10:05

Eu substitui na outra fórmula quando o cone é gerado pela rotação de triangulo equilátero ( eu tinha entendido q era pra usar a outra neste caso particular). Te agradeço muito pela ajuda. Deus te abençoe muito. Desculpe por nao ter utilizado o latex para colocar as fórmulas, essas não consegui colocar lá. Vou ler o tópico q vc indicou e prometo melhorar.