[calculo] integral - substituiçao

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[calculo] integral - substituiçao

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[calculo] integral - substituiçao

Mensagempor beel » Dom Nov 20, 2011 22:12

Nessa integral \int_{-1/2}^{1}\frac{1}{4 + 6x}dx
qual seria o "u" pra fazer a substituiçao?pra mim so poderia ser 4 + 6x
mas assim o "du" seria: 6dx...
fazendo assim, meu resultado deu
ln|6.10| - ln |6.1|
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Re: [calculo] integral - substituiçao

Mensagempor MarceloFantini » Dom Nov 20, 2011 23:03

Porque não avaliar direto? \int_{- \frac{1}{2}}^1 \frac{dx}{4+6x} = \ln |4+6x| \bigg\vert_{- \frac{1}{2}}^1 = \ln |10| - \ln |4-3| = \ln |10| - \ln |1| = \ln |10|.
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Re: [calculo] integral - substituiçao

Mensagempor beel » Ter Nov 22, 2011 13:52

vi onde errei, mas meu resultado deu ln |10| / 6
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Re: [calculo] integral - substituiçao

Mensagempor MarceloFantini » Ter Nov 22, 2011 19:10

Realmente, falta um pedaço. Vamos fazer passo a passo: faça u=4+6x, daí du = 6dx \implies dx = \frac{du}{6}, logo \int_{- \frac{1}{2}}^1 \frac{1}{4+6x} \, dx = \int_1^{10} \frac{1}{6u} \, du = \frac{1}{6} \int_1^{10} \frac{1}{u} \, du = \frac{\ln 10}{6}.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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