[cálculo] integração por frações simples

por **procyon** » Seg Nov 21, 2011 18:53

Olá pessoal,
Estou com dúvidas no seguinte exerc?cio:
$\int{\frac{x^4 +2x -6}{x^3 + x^2 -2x}}$
Tentei fazer o seguinte:
$\int_{\frac{x^4 + 2x -6}{x(x-1)(x+2)} \equiv \frac{A}{x} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x-2)}}$
= x²(A + B +C) +x(-3A -2B -C) +2A
2A = -6
A = -3
B = 2
C = 1

= $\frac{-3}{x} + \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x-2}$
= $-3\ln{x} + 2\ln{(x-1)} + \ln{(x-2)} + C$

Mas a resposta dá:

$\frac{x^2}{2} -x +\ln{\frac{x^3(x+2)}{(x-1)}} + C$

A parte do logaritmo está igual mas falta essa parte do x ao quadrado sobre dois - x. Isso deve ser uma primitiva de x (que dá: x^2/2) - primitiva de -1 ( que dá -x). Não sei como isso vai parar no resultado mas acredito que seja algo relacionado ao x na quarta potência que eu ignorei para achar o valor de A, preferi encontrar o A a partir da igualdade com o termo independente do numerador.

Onde está o meu erro?

Obrigado!

por **MarceloFantini** » Seg Nov 21, 2011 20:07

Você deve fazer a divisão polinomial para que o grau do numerador seja menor que do denominador, e depois usar frações parciais.

por **LuizAquino** » Seg Nov 21, 2011 20:57

procyon escreveu:Onde está o meu erro?

Como já apontou o colega Fantini, note que o grau do polinômio no numerador está maior do que o grau do polinômio no denominador.

Eu recomendo que você veja o Exemplo 2 da vídeo aula "29. Cálculo I - Integração por Frações Parciais (Caso I e II)". Ele é semelhante ao exercício que você está resolvendo.

Esta vídeo aula está disponível no meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino