Quadrilateros convexos

por **laisv11** » Sex Mai 15, 2009 16:19

Um trapezio possui bases medindo 5m e 8m e suas diagonais são bissetrizes dos angulos da base maior. Seu perimetro mede
a)20m
b)21m
c)22m
d)23m
e)24m

Bom, acho que as diagonais vão formar um triangulo isosceles na base maior. Mas ainda não consigo achar a medida dos lados obliquos ;/

por **Molina** » Sex Mai 15, 2009 23:51

Boa noite, Lais.

Estava fazendo uma resposta bem detalhada, chegando quase no final, quando de repente fechei a janela errada.
Então vou te dar uma dica de como você pode resolver, só para nao te deixar sem resposta:

Considere os ângulos da base menor como X e os ângulos da base maior como Y. Logo X > Y, ok?
Considere também a seguinte informação: X + Y = 180°
Sabemos que a soma dos ângulos internos do trapézio é igual a 360° (por ser um quadrilátero), logo a informação de cima é verdade: 2X + 2Y = 360°

Agora dê valores quaisquer para estes ângulos, por exemplo: X = 120° e Y = 60°
Faça a bissetriz do ângulo Y, obtendo uma diagonal.
Verifique que formou um triângulo, com os seguintes ângulos: 30°, 120° e ... ? De forma que a soma desses ângulos tem que resultar em 180°.
Qual ângulo que é o ... ?
O que você pode concluir após chegar a este ângulo?
Que triângulo que formou?
O que significa isso?

Faça um teste com outros valores de ângulos, e verifique a informação que você obtem.

Fazendo isso você chegará no lado desconhecido, sendo possível calcular o perímetro.

Qualquer dúvida coloque aqui.

Bom estudo, :y:

por **admin** » Sáb Mai 16, 2009 00:53

Olá laisv11, boas-vindas!

É um problema bem interessante...
Se alguém encontrar uma idéia mais trivial, será bem-vinda!

Comentarei meu raciocínio para tentar ajudá-la.
Primeiramente o desenho:

Pelos dados é apenas o que sabemos inicialmente.
Partimos de que seja um trapézio qualquer.

Em outras palavras, não podemos afirmar que é um trapézio isósceles, e nem podemos afirmar que $L = L\prime$ . Vejamos...

Como os segmentos

e

são bissetrizes dos ângulos $B\hat{A}D$ e $A\hat{B}C$ , respectivamente, podemos utilizar o teorema da bissetriz interna para os triângulos abaixo:

Triângulo ABD

:

$\frac{x}{L} = \frac{y}{8}$

Triângulo BAC

:

$\frac{y\prime}{8} = \frac{x\prime}{L\prime}$

Daqui temos que:
$L \frac{y}{x} = L\prime \frac{y\prime}{x\prime}$

Mas por Tales:

$\frac{y}{x} = \frac{y\prime}{x\prime}$

Logo:
$L = L\prime$

Somente agora podemos afirmar que o trapézio é isósceles.

Sendo

a altura do trapézio, considerei as tangentes (note também que $AF = \frac{3}{2}$ ):

$tg2\alpha = \frac{h}{\frac{3}{2}}$

$tg\alpha = \frac{h}{5+\frac{3}{2}} = \frac{h}{\frac{13}{2}}$

Como:
$tg2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$

Por substituição encontramos $h = \frac{\sqrt{13\cdot 7}}{2}$ .

Por fim, por Pitágoras:

$L^2 = \left( \frac{\sqrt{13\cdot 7}}{2} \right) ^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^2$

L=5