[Derivadas]

por **thiago toledo** » Qui Nov 10, 2011 16:34

Como resolvo este exercício?

Considere um triângulo retângulo no primeiro quadrante limitados pelos eixos coordenados e pela reta que passa pelo ponto P(2,3). Encontre os vértices do triangulo de areá máxima.

por **LuizAquino** » Qui Nov 10, 2011 17:29

Considere um triângulo retângulo no primeiro quadrante limitados pelos eixos coordenados e pela reta que passa pelo ponto P(2,3). Encontre os vértices do triangulo de areá máxima.

O exercício deveria solicitar os vértices do triângulo de área mínima. Vide figura abaixo.

thiago toledo escreveu:Como resolvo este exercício?

A figura abaixo ilustra o exercício.

: triângulo.png (5.04 KiB) Exibido 2515 vezes

Note que uma "área máxima" ocorreria quando a reta fosse paralela ao eixo x (passando por P), o que não formaria um triângulo. Ou ainda, também ocorreria uma "área máxima" se a reta estivesse passando por OP, mas nesse o triângulo não estaria limitado.

O exercício deveria então solicitar que sejam determinados os vértices A e B de modo que OAB tenha área mínima.

Lembre-se que a reta passando por A, P e B tem o formato f(x) = kx + m

. Além disso, deve-se ter k < 0, já que a função deve ser decrescente (como ilustra a figura).

Como P = (2, 3) pertence a reta, deve ocorrer $f(2)=3 \Rightarrow 2k+m = 3$ .

O ponto A tem coordenada y igual a zero. Portanto, ele deve ter o formato A = (-m/k, 0).

Por outro lado, o ponto B tem coordenada x igual a zero. Portanto, ele deve ter o formato B = (0, m).

Nessas condições, a área de OAB será dada por:

$S = \frac{-\frac{m}{k}\cdot m}{2} \Rightarrow S = -\frac{m^2}{2k}$

Apesar do sinal de menos aparecer na expressão para S, note que S continua sendo um número positivo, pois $m^2 \geq 0$ e k < 0.

Lembrando-se que deve ocorrer 2k+m = 3

, podemos dizer que:

$S(m) = -\frac{m^2}{3-m}$

Basta agora encontrar o ponto de mínimo dessa função.

Tente concluir o exercício a partir daqui.

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