Vetores

por **Claudin** » Qua Nov 02, 2011 03:19

Se U, V e W são vetores tais que V x U = V x W e V diferente do vetor nulo, então U = V.

Designei V = (Va, Vb, Vc)
W = (Wa, Wb, Wc)
U = (Ua, Ub, Uc)

Sendo assim "abri" todos os produtos vetoriais propostos no exercício, e resultou em:

(Vb.Uc - Va.Ub)i, (Vc.Ua - Va.Uc)j, (Va.Ub - Vb.Ua)k ------> V x U

(Vb.Wc - Vc.Wb)i, (Vc.Wa - Va.Wc)j, (Va.Wb - Vb.Wa)k -----> V x W

Sendo assim substituindo U = W, os resultados seriam iguais.
Mas o correto agora seria atribuir valores numéricos aos vetores U, V e W? Para ver se realmente a alternativa é verdadeira?
Mas ela é falsa, e devido a essas contas acima não conseguir provar corretamente o falso, e sim o contrário.

por **LuizAquino** » Dom Nov 06, 2011 17:43

Claudin escreveu:Se U, V e W são vetores tais que V x U = V x W e V diferente do vetor nulo, então U = V.

Eu presumo que o final da afirmação é: "(...) então U = W".

Essa afirmação é falsa.

Quando temos uma afirmação falsa, basta exibir um contraexemplo.

Escolha $\vec{u}$ e $\vec{w}$ distintos e paralelos a $\vec{v}$ . Nesse caso irá ocorrer $\vec{v}\times\vec{u} = \vec{0}$ e $\vec{v}\times\vec{w} = \vec{0}$ . Ou seja, teremos $\vec{v}\times\vec{u} = \vec{v}\times\vec{w}$ , mas $\vec{u}\neq\vec{w}$ .

Exemplo

$\vec{v} = (1,\,0,\,0) \textrm{ e } \vec{u} = (2,\,0,\,0) \Rightarrow \vec{v}\times\vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{0}$

$\vec{v} = (1,\,0,\,0) \textrm{ e } \vec{w} = (3,\,0,\,0) \Rightarrow \vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{0}$

Portanto, $\vec{v}\times\vec{u} = \vec{v}\times\vec{w}$ , mas $\vec{u}\neq\vec{w}$ .

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