Sistemas

por **Jansen** » Dom Mai 10, 2009 00:01

Olá! sou novo por aqui. enfim!
Tenho duvida nessa questão: Já tentei varias vezes, bom sei que ela pode ser resolvida por "escalonamento"´. O que eu devo estar confundindo é na hora de cancelar uma icognita x,y ou z.

1º) Sabendo que (x,y,z) é solução do sistema.

x+y+z=1
x-y+2z=3 , o valor de x²+y²+z² é:
2x+3y-z=1

Obrigado, pela atenção estarei fazendo novas perguntas!
Obs: não sei por "Chaves" do lado esquerdo do sistema.

por **Molina** » Dom Mai 10, 2009 14:09

Bem-vindo, Jansen.

As chaves ao lado das equações é apenas umas notação para um sistema.
Informando que as três equação terão os mesmos valores para x, y e z.

Você pode resolver pro Cramer. Conhece?

Sendo x, y e z a solução, podemos encontra-lo através de:
$x=\frac{{\Delta}_{x}}{{\Delta}_{s}}$

$y=\frac{{\Delta}_{y}}{{\Delta}_{s}}$

$z=\frac{{\Delta}_{z}}{{\Delta}_{s}}$

onde ${\Delta}_{s}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$

Obs.: Note que pegamos os valores dos coeficientes de x, y e z e excluimos a solução (números depois do =)

${\Delta}_{x}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

Obs.: Note que pegamos os valores dos coeficientes de y, z e da solução e excluimos os coeficientes de x

${\Delta}_{y}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

Obs.: Note que pegamos os valores dos coeficientes de x, z e da solução e excluimos os coeficientes de y

${\Delta}_{z}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

Obs.: Note que pegamos os valores dos coeficientes de x, y e da solução e excluimos os coeficientes de z

Pronto! Achando esses determinantes, basta jogar na fórmula que enunciei no começo e você descobre x, y e z.
Caso tenha alguma dificuldade informe.

Abraços e bom estudo! :y:

por **Cleyson007** » Dom Mai 10, 2009 15:10

Olá Jansen, seja bem vindo ao Ajuda Matemática

Gosto de resolver esse tipo de problema pela "Regra de Cramer"... Sabe a Regra de Cramer?

Veja só --> Os coeficientes de

,

e

formam uma matriz incompleta.

Os termos que encontram-se depois da igualdade, são chamados de "termos independentes dos sistema".

Primeiro, você deverá calcular o determinante da matriz incompleta do sistema (que vai ser chamado de D): $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ \end{vmatrix}$ Encontrará como resultado D=5

Segundo, você deverá calcular o determinante da matriz obtida atráves da troca dos coeficientes de

pelos termos independentes, na matriz incompleta (que vai ser chamado de ${D}_{x}$ ).

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ \end{vmatrix}$ Encontrará como resultado ${D}_{x}=10$ .

O determinante ${D}_{y}$ fica:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ \end{vmatrix}$ ${D}_{y}=-5$

O determinante ${D}_{z}$ fica:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix}$ Encontrará como resultado: ${D}_{z}=0$

Para encontrar os valores de

,

e

, faça o seguinte: $x= {D}_{x}/D$ , $y= {D}_{y}/D$ e $z= {D}_{z}/D$ .

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida é só postar, ok?

Um abraço

por **Jansen** » Seg Mai 11, 2009 01:13

molina escreveu:Bem-vindo, Jansen.

As chaves ao lado das equações é apenas umas notação para um sistema.
Informando que as três equação terão os mesmos valores para x, y e z.

Você pode resolver pro Cramer. Conhece?

Sendo x, y e z a solução, podemos encontra-lo através de:
$x=\frac{{\Delta}_{x}}{{\Delta}_{s}}$

$y=\frac{{\Delta}_{y}}{{\Delta}_{s}}$

$z=\frac{{\Delta}_{z}}{{\Delta}_{s}}$

onde ${\Delta}_{s}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$

Obs.: Note que pegamos os valores dos coeficientes de x, y e z e excluimos a solução (números depois do =)

${\Delta}_{x}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

Obs.: Note que pegamos os valores dos coeficientes de y, z e da solução e excluimos os coeficientes de x

${\Delta}_{y}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

Obs.: Note que pegamos os valores dos coeficientes de x, z e da solução e excluimos os coeficientes de y

${\Delta}_{z}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

Obs.: Note que pegamos os valores dos coeficientes de x, y e da solução e excluimos os coeficientes de z

Pronto! Achando esses determinantes, basta jogar na fórmula que enunciei no começo e você descobre x, y e z.
Caso tenha alguma dificuldade informe.

Abraços e bom estudo!

Muito obrigado pela ajuda! Então deu pra perceber que minha dificuldade é saber quando devo usar Cramer e Escalonamento, um serve pra classificar e outro n lembro. Poderia me explicar qndo devo utilizalas dando exemplos. tipo tem hora que 3 sistemas como esse se usa ecalonamento e outros como este utiliza Cramer.

por **Jansen** » Seg Mai 11, 2009 01:14

Cleyson007 escreveu:Olá Jansen, seja bem vindo ao Ajuda Matemática

Gosto de resolver esse tipo de problema pela "Regra de Cramer"... Sabe a Regra de Cramer?

Veja só --> Os coeficientes de , e formam uma matriz incompleta.

Os termos que encontram-se depois da igualdade, são chamados de "termos independentes dos sistema".

Primeiro, você deverá calcular o determinante da matriz incompleta do sistema (que vai ser chamado de D): $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ \end{vmatrix}$ Encontrará como resultado D=5

Segundo, você deverá calcular o determinante da matriz obtida atráves da troca dos coeficientes de pelos termos independentes, na matriz incompleta (que vai ser chamado de ${D}_{x}$ ).

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ \end{vmatrix}$ Encontrará como resultado ${D}_{x}=10$ .

O determinante ${D}_{y}$ fica:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ \end{vmatrix}$ ${D}_{y}=-5$

O determinante ${D}_{z}$ fica:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix}$ Encontrará como resultado: ${D}_{z}=0$

Para encontrar os valores de , e , faça o seguinte: $x= {D}_{x}/D$ , $y= {D}_{y}/D$ e $z= {D}_{z}/D$ .

Espero ter ajudado Qualquer dúvida é só postar, ok?

Um abraço

Muito obrigado pela ajuda! Então deu pra perceber que minha dificuldade é saber quando devo usar Cramer e Escalonamento, um serve pra classificar e outro n lembro. Poderia me explicar qndo devo utilizalas dando exemplos. tipo tem hora que 3 sistemas como esse se usa ecalonamento e outros como este utiliza Cramer.

por **Molina** » Seg Mai 11, 2009 04:36

Boa noite, Jansen.

Com os dois modos que você citou, você encontra a solução (x, y, z) que você está procurando. A diferença é que por Cramer você já é capaz de classificar o sistema em: Sistema Possivel Determinado (SPD), Sistema Possível Indeterminado (SPI) ou em Sistema Impossível (SI).

Ficou claro?

Abraços e bom estudo, :y:

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