[Limite] Número de Euler

por **Aliocha Karamazov** » Sex Out 28, 2011 20:16

Ao ler a seguinte demonstração:

Verifique que $\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
Solução:
Fazendo x=-(t+1), t>0

$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\left(1-\frac{1}{1+t}\right)^{-t-1}=\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\frac{t+1}{t}$

Para $x\to-\infty, t\to\infty$ , assim:

$\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e$

Eu não entendi por que

$\left(1-\frac{1}{1+t}\right)^{-t-1}=\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\frac{t+1}{t}$

Alguém poderia me ajudar?

por **Igor Mirandola** » Sex Out 28, 2011 21:55

Vamos fazer primeiro a seguinte conta:
${\left(1 - \frac{1}{1+t} \right)}^{-t} = {\left(\frac{1+t}{1+t} - \frac{1}{1+t} \right)}^{-t} = {\left(\frac{t}{1+t} \right)}^{-t} = {\left(\frac{1+t}{t} \right)}^{t} = {\left(\frac{1}{t} + \frac{t}{t} \right)}^{t} = {\left(1 + \frac{1}{t} \right)}^{t}$
Realizando praticamente as mesmas operações:
${\left(1 - \frac{1}{1+t} \right)}^{-1} = {\left(\frac{1+t}{1+t} - \frac{1}{1+t} \right)}^{-1} = {\left(\frac{t}{1+t} \right)}^{-1} = {\left(\frac{1+t}{t} \right)}^{1}$

Sabendo que
${\left(1 - \frac{1}{1+t} \right)}^{-t-1} = {\left(1 - \frac{1}{1+t} \right)}^{-t} {\left(1 - \frac{1}{1+t} \right)}^{-1}$

Concluímos que
${\left(1 - \frac{1}{1+t} \right)}^{-t-1} = {\left(1 + \frac{1}{t} \right)}^{t} {\left(\frac{1+t}{t} \right)}^{1}$

por **Aliocha Karamazov** » Sex Out 28, 2011 22:46

Obrigado pela ajuda!

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