[derivada implícita]exercício

por **luiz_henriquear** » Seg Out 24, 2011 20:48

Estou começando agora a entender derivada implícita, mas não consigo encontrar a resposta para o seguinte exercício de derivada implícita:
${y}^{3}=\frac{x-y}{x+y}$

Ps.A dificuldade é quando vamos fazer a regra do quociente e temos que utilizar nos Ys a regra da cadeia

Att.
luiz_henriquear

por **LuizAquino** » Seg Out 24, 2011 21:58

luiz_henriquear escreveu:encontrar a resposta para o seguinte exercício de derivada implícita:
${y}^{3}=\frac{x-y}{x+y}$

$\left({y}^{3}\right)^\prime=\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^\prime$

$3y^2y^\prime = \frac{(x-y)^\prime(x+y) - (x-y)(x+y)^\prime}{(x+y)^2}$

$3y^2y^\prime = \frac{(1 - y^\prime)(x+y) - (x-y)(1+y^\prime)}{(x+y)^2}$

$3y^2y^\prime = \frac{-2xy^\prime + 2y }{(x+y)^2}$

$3y^2y^\prime(x+y)^2 = -2xy^\prime + 2y$

$\left[3y^2(x+y)^2 + 2x\right]y^\prime = 2y$

$y^\prime = \frac{2y}{3y^2(x+y)^2 + 2x}$

Observação
Se você desejar revisar o conceito de derivada implícita, então eu gostaria de recomendar a vídeo-aula "14. Cálculo I - Derivada de Função Implícita". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **luiz_henriquear** » Seg Out 24, 2011 22:24

Obrigado Luiz pela ajuda, mas há um porém:
as alternativas são:
a) $y'=\frac{x-y}{3xy^2+3y^3}$

b) $y'=\frac{1-y^3}{3xy^2+4y^3+1}[tex] c)[tex]y'=\frac{1-y}{1+y}$

d) $y'=\frac{1}{3xy^2+4y^3}$

e) $y'=\frac{1}{3y^2}$

por **luiz_henriquear** » Ter Out 25, 2011 12:21

Muito obrigado

por **luiz_henriquear** » Ter Nov 01, 2011 20:50

Caro Luiz
Se eu passar o divisor para o outro lado e derivar implicitamente chegare na alternativa b

por **LuizAquino** » Ter Nov 01, 2011 23:04

luiz_henriquear escreveu:Caro Luiz,
Se eu passar o divisor para o outro lado e derivar implicitamente chegarei na alternativa b

Ok.

$y^3 = \frac{x-y}{x+y}$

y^3(x+y) = x-y

$3y^2y^\prime(x+y) + y^3(1+y^\prime)= 1 - y^\prime$

$\left[3y^2(x+y) + y^3 + 1\right]y^\prime = 1 - y^3$

$y^\prime = \frac{1 - y^3}{3y^2x+ 4y^3 + 1}$

Observação

Considere que y = k (com k não nulo). Da equação $y^3 = \frac{x-y}{x+y}$ , obtemos que $x = \frac{k^4 + k}{1 - k^3}$ .

Agora substitua o ponto $\left(\frac{k^4 + k}{1-k^3},\,k\right)$ nas expressões $y^\prime = \frac{1 - y^3}{3y^2x+ 4y^3 + 1}$ e $y^\prime = \frac{2y}{3y^2(x+y)^2 + 2x}$ . Você verificará que o resultado para $y^\prime$ será o mesmo em ambas.