Unifei - prova3 2007

por **WiLLKun** » Ter Jan 15, 2008 23:42

Olá gente
vou fazer o vestibular da unifei este final de semana, e qdo fui dar uma conferida na prova dissertativa de matematica, fornecida por eles, mal conseguia responder as questoes e mto menos entender as respostas dadas por eles, ou conseguir seguir a linha de raciocinio para chegar nestes resultados, gostaria de saber se ninguen poderia fazer as resoluçoes dessa prova, sao 10 questoes
http://www.vestibular.unifei.edu.br/arquivos_upload/provas/2007/Prova%203%20-%202007%20-%20Matematica.doc

se tiver como fazer essas resoluçoes de modo q seja possivel compreender

obrigado ^^

por **admin** » Sáb Jan 19, 2008 04:36

Olá WiLLKun!

Nesta semana, eu particularmente não tenho disponibilidade de tentar resolver estas 10 questões no prazo que você precisa.
Como por enquanto ninguém respondeu, caso você tenha alguma dúvida mais específica, talvez possamos ajudar.

Uma resolução de prova inteira, da forma didática como você espera, demanda mais tempo e dedicação de quem for ajudar, o que entra em conflito com sua expectativa para este final de semana.
Sendo assim, durante estes seus estudos às vésperas, acredito que as dúvidas mais pontuais ainda poderão ser respondidas.

De qualquer forma, posteriormente, dedicarei tempo para cada uma das questões e postarei aqui meus comentários.

Bons estudos!

por **admin** » Sáb Jan 19, 2008 06:24

Resolução da questão 1:

unifei_prova3_2007_questao1.PDF

Apenas anexando a prova, no caso do link original não funcionar para os próximos leitores:

UNIFEI - Prova 3 - 2007 - Matematica.doc

por **admin** » Sáb Jan 19, 2008 07:39

Resolução da questão 2:

unifei_prova3_2007_questao2.PDF

por **admin** » Sáb Jan 19, 2008 18:03

Resolução da questão 3:

unifei_prova3_2007_questao3.PDF

por **WiLLKun** » Sáb Jan 19, 2008 21:24

nossa cra valeu heim... sei lah tem materias q nao peguei mto bem na escola pq tive de mudar de colegio... log e funçao mais avançado tenhu dificuldade ainda
como estasprovas soh vem com resultado fikei boiando em algumas e outras tive duvida por nao encontrar o mesmo resultado
tuas resoluçoes esto boas ^^ vlww mesmo... amanhan eh minha prova pratica de mat e fisica, mas fazer oq neh, as vezes eh ateh bom eu nao passar dessa vez, passar no vestibular nao qr dizer q vai se dar bem na facul, nunk fis cursinho tmb
vlwww por tudo e se tver como vc terminar de fazer a prova... soh nao precisa ter pressa

por **admin** » Dom Jan 20, 2008 19:29

Olá WiLLKun.
Espero que você tenha ido bem na prova!

Estou tentando fazer as resoluções de forma compreensível.
Mas ressalto que novos questionamentos sempre podem ser feitos.
Quanto mais soubermos especificar nossas dúvidas, melhor.

Nas resoluções de problemas sempre são utilizados resultados previamente obtidos: teoremas, propriedades, fórmulas etc.
Caso algum trecho tenha ficado obscuro, compartilhe conosco.

Resolução da questão 4:

unifei_prova3_2007_questao4.PDF

por **admin** » Ter Jan 22, 2008 18:50

Diferentemente das outras respostas do gabarito, neste caso, a resolução tem que ser completa.
Entretanto, considerando as entre-linhas, ainda podemos questionar:
i) 1o. membro? $(a+b)log_{k}^{ab}$
ii)Soma das raízes?

iii)Produto das raízes? k^p

Nesta resolução, vamos evidenciar estes passos, pois provavelmente são os principais causadores de dúvidas.

Començado pelo 1o. membro, vamos reescrevê-lo em etapas para entendermos o que está no gabarito:
$log_{k}^{a^a}+log_{k}^{b^b}+log_{k}^{a^b}+log_{k}^{b^a} =$

$=a \cdot log_{k}^{a}+b \cdot log_{k}^{b}+b \cdot log_{k}^{a}+a \cdot log_{k}^{b} =$

$=a \cdot log_{k}^{a} + a \cdot log_{k}^{b} + b \cdot log_{k}^{b}+b \cdot log_{k}^{a} =$

$=a( log_{k}^{a} + log_{k}^{b} ) + b( log_{k}^{b} + log_{k}^{a} ) =$

$=a \cdot log_{k}^{a\cdot b} + b \cdot log_{k}^{b \cdot a} =$

$=a \cdot log_{k}^{a\cdot b} + b \cdot log_{k}^{a \cdot b} =$

$=(a + b) \cdot log_{k}^{a\cdot b}$

Então, o passo (i) está mais detalhado.

Onde a e b são, por hipótese, as raízes da equação:
x^2-mx+k^p=0

Agora, vamos percorrer a obtenção da soma e do produto das raízes de uma equação do segundo grau, para entendermos (ii) e (iii).
Vamos considerar esta equação, onde $\alpha ,\beta , \gamma \in \Re$ , $\alpha\neq0$ .
$\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$
Onde as duas raízes são:
$x_1 = \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}$
e
$x_2 = \frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}$

Soma das raízes:
$x_1 + x_2 = \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha} + \frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}=$

$=\frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} -\beta -\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}}{2\alpha}=$

$=\frac{-2\beta}{2\alpha}=$

$=\frac{-\beta}{\alpha}$

Voltando para a equação do problema:
x^2-mx+k^p=0

Temos que:
$\alpha = 1$ e $\beta = -m$
Logo, $x_1+x_2 = \frac{-(-m)}{1} = m$
E como a e b são as raízes, a+b = m

(passo ii)

Produto das raízes:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha} \cdot \frac{-\beta-\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} }{2\alpha}=$

$=\frac{ \left(-\beta+\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right) \cdot \left(-\beta -\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)}{(2\alpha)^2}=$

$=\frac{ {\beta^2+\beta\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} -\beta\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma} - \left(\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)^2 } }{4\alpha^2}$

$=\frac{ {\beta^2 - \left(\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}\right)^2 } }{4\alpha^2}=$

$=\frac{ {\beta^2 - \left(\beta^2-4\alpha\gamma\right) } }{4\alpha^2}=$

$=\frac{ {\beta^2 - \beta^2 + 4\alpha\gamma } }{4\alpha^2}=$

$=\frac{ 4\alpha\gamma }{4\alpha^2}=$

$=\frac{\gamma}{\alpha}$

Novamente, voltando para a equação do problema:
x^2-mx+k^p=0

Temos que:
$\alpha = 1$ , $\gamma = k^p$ e a,b são raízes.

Logo, $a \cdot b = \frac{k^p}{1} = k^p$ (passo iii)

Portanto, percorremos as entre-linhas do gabarito, pois uma das maneiras para resolvermos um exercício algébrico do tipo "mostre que", é partirmos exclusivamene de um membro da equação e chegarmos ao outro, provando que são de fato iguais.
Eis um resumo do que fizemos:

Partindo do 1o. membro:
$log_{k}^{a^a}+log_{k}^{b^b}+log_{k}^{a^b}+log_{k}^{b^a} =$

$=(a + b) \cdot log_{k}^{a\cdot b}=$

Considerando a equação:

Vimos que a soma das raízes é:

Produto das raízes:
$a \cdot b = k^p$

Agora, substituíremos estes resultados na continuação do desenvolvimento do 1o. membro.

$=m \cdot log_{k}^{ {k^p} }=$

$log_{k}^{ {k^p} }= p$

$=m \cdot p$ (que é o 2o. membro, onde queríamos chegar)

É claro que na prática, ou em uma resolução pessoal, nós podemos (ou, vocês podem) fazer em 4 linhas, como no gabarito.
Mas, a intenção aqui foi detalhar um pouco.
Reparem que os questionamentos podem não ter fim, como por exemplo:
-Como obtemos aquelas raízes de uma equação de segundo grau?
-Como chegamos à "fórmula de Bhaskara"?
-E as propriedades usadas de log?
-E este trecho? $log_{k}^{ {k^p} }= p$

Vemos que em toda resolução ficam implícitos conhecimentos prévios.

por **admin** » Qua Jan 23, 2008 14:02

Acompanhe este tópico:
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=97&t=128

por **admin** » Sáb Abr 05, 2008 16:42

Para $n \in \math{N}^*$ :

$-1^n = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & se\; n\; par\\ -1 & se\; n\; impar \end{array} \right.$

$P(-1) = (-1)^{34} + 2(-1)^{33} + 3(-1)^{32} + \cdots + 33(-1)^2 + 34(-1) + 35$

$P(-1) = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots 18 \cdots + 33 - 34 + 35$

Somando os extremos, todas as parcelas se anulam, sobrando a central:
P(-1) = 18

$P(1) = 1 + 2 + 3 + \cdots + 33 + 34 + 35$

Soma dos 35 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 1 e a_1 = 1

:
$S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$

$S_{35} = \frac{(1+35)35}{2} = \frac{36\cdot 35}{2} = 18\cdot 35 = 630$

$P(-1) \cdot P(1) = 18 \cdot 630 = 11340$

por **admin** » Sáb Abr 05, 2008 17:18

1º passo) encontrar a medida dos lados

Como formam uma P.A., temos:
l-3 + l + l+3 = 24

Então, as medidas são 5, 8 e 11.

2º passo) testar se o triângulo é retângulo, através do teorema de Pitágoras
Pois como queremos os cossenos dos ângulos internos, a obtenção seria mais simples, fazendo cateto adjacente sobre hipotenusa.
Mas ao testar constatamos que não vale o teorema de Pitágoras para estas medidas, ou seja, o triângulo não é retângulo.
$11^2 \neq 5^2 + 8^2$

3º passo) aplicar o teorema dos cossenos para cada ângulo

$8^2 = 5^2 + 11^2 - 2\cdot 5\cdot 11\cdot cos \hat{A}$

$cos \hat{A} = \frac{82}{110} = \frac{41}{55}$

$11^2 = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8 \cdot cos\hat{B}$

$cos\hat{B} = -\frac{32}{80} = -\frac25$

$5^2 = 8^2 + 11^2 - 2\cdot 8 \cdot 11\cdot cos\hat{C}$

$cos\hat{C} = \frac{-160}{-176} = \frac{10}{11}$

4º passo) calcular a soma

$S = \frac{41}{55} - \frac25 + \frac{10}{11} = \frac{41 -22 + 50}{55} = \frac{69}{55}$