Matriz

por **Claudin** » Qui Set 15, 2011 17:42

Quando eu tenho uma matriz A de ordem 4x4, para encontrar o determinante logicamente seria por cofator.
Fiquei pensando aqui, e se eu transformar essa matriz em uma triangular superior ou inferior, eu acharia o determinante mais fácil, isso está correto?
Eu tentei fazer isto aqui mas o determinante deu diferente.

por **MarceloFantini** » Qui Set 15, 2011 18:07

Sim, para encontrar o determinante para matrizes de ordem maior que 3 é por cofatores, e calcular o determinante de matrizes triangulares é sempre mais fácil, mas o que acontece é que por transformar em uma triangular você provavelmente multiplicou linhas/colunas e subtraiu/somou em outras, e isto altera o determinante. Realizando estas operações você não pode afirmar que o determinante é o mesmo. Exemplo:

$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 21 = -17$

Porém, multiplicando a primeira por 7, multiplicando a segunda por -1 e somando a primeira na segunda, temos:

$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 17 \end{vmatrix} = 17 \neq -17$

por **Claudin** » Qui Set 15, 2011 18:11

Mas mesmo realizando operações elementares no escalonamento por Gauss Jordan, alteraria o determinante?
Então foi este o meu erro, prefiro fazer por cofator mesmo.

por **LuizAquino** » Qui Set 15, 2011 21:12

Claudin escreveu:Mas mesmo realizando operações elementares no escalonamento por Gauss Jordan, alteraria o determinante:

Sim. Algumas operações poderiam alterar o determinante. Eu recomendo que você leia o capítulo sobre determinantes do livro de Reginaldo Santos (UFMG). Esse livro está disponível na página dele:
Matrizes, Vetores e Geometria Analítica
http://www.mat.ufmg.br/~regi/livros.html

Claudin escreveu:Então foi este o meu erro, prefiro fazer por cofator mesmo.

Calcular um determinante por cofator é a pior estratégia numérica que você pode usar.

Apenas como exemplo, considere o trabalho de calcular o determinante de uma matriz 20 por 20.

Para esse cálculo por cofatores seria necessário calcular o determinante de 20 matrizes de ordem 19 por 19. Para cada uma dessas matrizes, seria necessário calcular o determinante de 19 matrizes de ordem 18 por 18. Continuando essa ideia, percebemos que iríamos precisar calcular 20! multiplicações (não estou contando nem as somas!).

Pois bem, um computador pessoal atualmente faz por volta de $10^{8}$ multiplicações por segundo. Por outro lado, sabemos que 20! é aproximadamente $10^{18}$ . Sendo assim, esse computador levaria $\frac{20!}{10^{8}}\approx \frac{10^{18}}{10^{8}} = 10^{10}$ segundos para fazer 20! multiplicações. Mas $10^{10}$ segundos correspondem a aproximadamente 317 anos!

Agora pense no seguinte: quantas multiplicações por segundo um ser humano consegue fazer? Provavelmente ele levaria a vida toda e não conseguiria calcular o determinante de uma matriz 20 por 20 não trivial utilizando o método por cofator.

por **Claudin** » Qui Set 15, 2011 21:21

Correto, mas na minha prova não posso calcular utilizando método como o de SARRUS
terei que fazer por cofator.

por **LuizAquino** » Qui Set 15, 2011 21:37

Claudin escreveu:Correto, mas na minha prova não posso calcular utilizando método como o de SARRUS
terei que fazer por cofator.

Primeiro vale lembrar que o método de Sarrus apenas serve para calcular determinantes de matrizes 3 por 3.

No livro que indiquei acima há a explicação de como calcular o determinante de matrizes reduzindo-a para uma matriz triangular equivalente. Vale a pena você conferir.

por **Claudin** » Qui Set 15, 2011 21:40

Eu possuo este livro.
Luiz tem como vc responder o outro tópico para mim?
obrigado pela ajuda

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