Calcular Derivada ln(secx+tgx)

por **shantziu** » Seg Set 05, 2011 16:55

Boa tarde galera,

o problema é o seguinte

estou em uma questão, e está pedindo para provar que $\int_{}^{}secx$ = ln(secx+tgx)+c

pra eu provar isso eu sei que tenho que calcular essa derivada: ln(secx+tgx)

só que não estou conseguindo achar o resultado secx, por isso peço ajuda dos senhores.

por **MarceloFantini** » Seg Set 05, 2011 17:43

Use a regra da cadeia: $(\ln (\sec x + \tan x))' = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x + \tan x)' =$

$= \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\tan x \sec x + \sec^2 x) = \sec x \cdot \left( \frac{\tan x + \sec x}{\sec x + \tan x} \right)$

por **LuizAquino** » Seg Set 05, 2011 20:12

Bem, é evidente que uma forma de provar é derivar $\ln |\sec x + \,\textrm{tg}\,x| + c$ e verificar se o resultado é $\sec x$ .

Entretanto, se não fosse fornecido o resultado da integral, então como você provaria?

No caso da integral da secante é necessário usar um artifício.

Veja que podemos escrever:

$\int \sec x \, dx = \int \frac{\sec x(\sec x + \,\textrm{tg}\,x)}{\sec x + \,\textrm{tg}\,x}\, dx = \int \frac{\sec^2 x +\sec x\,\textrm{tg}\,x}{\sec x + \,\textrm{tg}\,x}\, dx$

Fazendo a substituição $u = \sec x + \,\textrm{tg}\,x$ e $du = \sec x \,\textrm{tg}\,x + \sec^2 x \,dx$ , temos que:

$\int \sec x \, dx = \int \frac{1}{u}\, du = \ln |u| + c = \ln |\sec x + \,\textrm{tg}\,x| + c$ .

Se desejar conhecer outro artifício que poderia ser usado, então veja o tópico abaixo:
[Cálculo] Integral da secante
viewtopic.php?f=120&t=5728