Questão sobre cônicas

[Cristiano Tavares]

Olá a todos,

Não estou conseguindo resolver uma questão sobre cônicas. Nessa questão são dados cinco pontos que pertencem à cônica: P(1,1), Q(2,1), R(3,-1), S(-3,2) e T(-2,-1). Pergunta-se então qual é a equação da cônica.

Sei que a forma geral da equação de uma cônica (parábola, elipse, hipérbole) é Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Sei também que os pontos dados acima devem ser substituídos nessa equação geral, encontrando-se então um sistema de cinco equações com as incógnitas A, B, C, D, E, e F. O problema é que não estou conseguindo resolver esse sistema, não estou entendendo o fato de serem seis variáveis e apenas cinco equações.

Alguém poderia me ajudar a resolver esse sistema de equações?

[LuizAquino]

Como você mesmo escreveu, a equação geral da cônica é:



Entretanto, tem um detalhe: por definição temos que A, B ou C deve ser diferente de zero.

Suponha que A é diferente de zero. Veja que você pode fazer:



Agora façamos , , , e . A equação pode então ser escrita como:



Veja que dados os cinco pontos, você pode determinar as cinco constantes acima.

Por outro lado, veja que se A fosse zero, então B ou C não seria. Bastava então dividir toda a equação pela constante que não fosse nula. Novamente você poderia criar cinco novas constantes.