[Progressão Aritmética] Exercício P.A + Logaritmos

por **jonaspache** » Sáb Ago 27, 2011 20:13

Determine x a fim de que (-7, $\log_4 (7/x)$ , $\log_2 (x + 4)$ ) seja uma P.A. Qual é a razão?
(Exercício retirado do livro didático de ensino médio: Matemática (volume único), escrito por Gelson lezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e Roberto Périgo.)

por **LuizAquino** » Sáb Ago 27, 2011 22:53

Quais foram as suas dúvidas e o que você já tentou fazer?

por **jonaspache** » Sáb Ago 27, 2011 23:08

Já tentei tanta coisa! Mostrei para meus 2 professores, busquei ajuda de parentes que estudam matemática, mas ninguém chegou em nenhuma resposta.
Usei todas as maneiras que eu conhecia para resolver esse tipo de P.A, relacionando fórmulas entre si. Mesmo depois de várias substituições, eu não chego em lugar nenhum, tendo até vezes em que chego à equações de 4º grau. Sempre chega uma hora que "trava".
Gostaria que tentassem solucionar o problema e postassem a resolução aqui no fórum. Obrigado.

por **LuizAquino** » Sáb Ago 27, 2011 23:34

jonaspache escreveu:Determine x a fim de que $\left\{-7,\, \log_4 \left(\frac{7}{x}\right),\, \log_2 (x + 4)\right\}$ seja uma P.A. Qual é a razão?

Sabemos que três números a, b e c estão nessa ordem em p. a., se tivermos que b - a = c - b.

Desse modo, temos que deve ocorrer:

$\log_4 \left(\frac{7}{x}\right) - (-7) = \log_2 (x + 4) - \log_4 \left(\frac{7}{x}\right)$

Desenvolvendo essa equação, obtemos que:

$2\log_4 \left(\frac{7}{x}\right) - \log_2 (x + 4) = -7$

$\log_{2^2} \left(\frac{7}{x}\right)^2 - \log_2 (x + 4) = -7$

$\frac{1}{2}\log_{2} \left(\frac{7}{x}\right)^2 - \log_2 (x + 4) = -7$

$\log_{2} \left[\left(\frac{7}{x}\right)^2\right]^\frac{1}{2} - \log_2 (x + 4) = -7$

Como condição de existência para esses logaritmos, temos que x > 0. Desse modo, podemos escrever que:

$\log_{2} \left(\frac{7}{x}\right) - \log_2 (x + 4) = -7$

$\log_{2} \left(\frac{\frac{7}{x}}{x+4}\right) = -7$

$\frac{7}{x(x+4)} = 2^{-7}$

Agora tente terminar o exercício.

por **jonaspache** » Dom Ago 28, 2011 01:51

$7/x(x+4) = 2{}^-{}{}^7{}$

Assim, temos:

$7 = 1/128 * (x{}^2{} + 4x)$

efetuando a distribuição de propriedades e tirando o mmc:

$x{}^2{} + 4x -896 = 0$

Resolvendo Bhaskara, obtemos: x=28, ou, x=-32. Como Log não admiti valores negativos em a, x só pode ser igual a 28.

Substituindo em uma das fórmulas anteriores, temos r igual a 6.

Parece muito mais simples depois que vemos a resolução..
Muito obrigado pela ajuda!

por **LuizAquino** » Dom Ago 28, 2011 12:00

jonaspache escreveu: $7/x(x+4) = 2^{-7}$

Isso que você escreveu é equivalente a:
$\frac{7}{x}(x+4) = 2^{-7}$

Mas, o que temos na verdade é:
$\frac{7}{x(x+4)} = 2^{-7}$

Pare escrever isso na notação que você usou, você deveria ter escrito:
$7/[x(x+4)] = 2^{-7}$

Veja o quão importante é usar os delimitadores de forma correta!

jonaspache escreveu:Assim, temos:

$7 = 1/128 * \left(x^2 + 4x\right)$

Ok. Isso é equivalente a:
$7 = \frac{1}{128}\cdot \left(x^2 + 4x\right)$

jonaspache escreveu:efetuando a distribuição de propriedades e tirando o mmc:

x^2 + 4x -896 = 0

Resolvendo Bhaskara, obtemos: x=28, ou, x=-32.

Ok.

jonaspache escreveu:Como Log não admiti valores negativos em a, x só pode ser igual a 28.

Cuidado! Na equação $\log_2 \left(x^2 + 1\right) = 1$ , temos como solução x = -1 e x = 1. Veja que não devemos descartar nesse caso a solução negativa, pois mesmo x sendo negativo o logaritmando (que é x^2 + 1

) continua positivo.

No caso do exercício desse tópico, temos que:
(i) a condição de existência para $\log_4 \left(\frac{7}{x}\right)$ é x > 0;
(ii) a condição de existência para $\log_2 (x + 4)$ é x > -4;

Como (i) e (ii) devem ser atendidas ao mesmo tempo, devemos tomar a interseção entre essas duas condições. Acontece que nesse caso a interseção é x > 0.

Por esse motivo, descartamos a solução x = -32, ficando apenas com x = 28.

jonaspache escreveu:Substituindo em uma das fórmulas anteriores, temos r igual a 6.

Ok.

jonaspache escreveu:Parece muito mais simples depois que vemos a resolução..

Veja que apenas utilizamos as propriedades dos logaritmos e a regra de formação de uma p. a.. De fato, não é um exercício tão complicado quanto você imaginava.

por **jonaspache** » Dom Ago 28, 2011 16:06

É a primeira vez que faço uma resolução de um problema matemático na internet, por isso esses erros de representação

Eu nem me toquei do domínio que depende do Logaritmo (x² + 4) e (7/x). Tinha me empolgado tanto que na hora pensei que x só admitia valores positivos, deixando de lado o processo para determinar o domínio dos Logaritmos..
De qualquer forma, obrigado mais uma vez por me ajudar!