[Números Complexos] Ajuda

por **Alvadorn** » Dom Ago 21, 2011 17:31

Gostaria de uma ajuda de como encaminhar cada uma dessas questões, apenas o inicio se possivel.

Resolva as equações em $\mathbb{C}$ :

a) x^6 + 729 = 0

Sei que as respostas são:

$a) S= \{3i, -3i, \frac {3\sqrt{3}}{2} + \frac {3} {2}i , \frac {3\sqrt{3}}{2} - \frac {3} {2}i, -\frac {3\sqrt{3}}{2} + \frac {3} {2}i, -\frac {3\sqrt{3}}{2} - \frac {3} {2}i \}$
$b) S= \{-2 + i, -2, -i \}$
$c) S= \{ 1 + \sqrt{3}i; -2; 1 - \sqrt{3}i ; 1; -\frac{1}{2} + \sqrt \frac {3}{2}i; -\frac{1}{2} - \sqrt \frac {3}{2}i; \}$

Desde já agradeço

por **Neperiano** » Seg Ago 22, 2011 18:18

Ola

Resolva normalmente, entretanto na hora que der raiz de numero negativo, vc usa propriedade assim

Raiz de -4 = Raiz de 4 vezes raiz de -1, e assim resolve,

Atenciosamente

por **LuizAquino** » Seg Ago 22, 2011 18:46

Neperiano escreveu:Resolva normalmente, entretanto na hora que der raiz de numero negativo, vc usa propriedade assim

Raiz de -4 = Raiz de 4 vezes raiz de -1, e assim resolve,

Só isso não basta. É necessário usar a radiciação de números complexos.

Primeiro, pela Fórmula de Moivre, sabemos que:

$z^n = |z|^n[\cos(n\theta) + i\textrm{sen}\,(n\theta)]$

Agora, considere um número complexo $u=|u|(\cos \theta + i\textrm{sen}\,\theta)$ . Se z é uma raiz n-ésima de u, isto é, z^n=u

, então temos que:

$z = \sqrt[n]{|u|}\left[\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right) + i\textrm{sen}\,\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right]$ , com k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Por exemplo, suponha que z^5 = 1

. Desse modo, o nosso complexo u é tal que $u = 1\cdot (\cos 0^\circ + \textrm{sen}\, 0^\circ)$ . Aplicando a fórmula de radiciação, obtemos:

$z = \sqrt[5]{1}\left[\cos\left(\frac{0^\circ+2k\pi}{5}\right) + i\textrm{sen}\,\left(\frac{0^\circ+2k\pi}{5}\right)\right]$ $= \cos\left(\frac{2k\pi}{5}\right) + i\textrm{sen}\,\left(\frac{2k\pi}{5}\right)$ , com k = 0, 1, 2, 3, 4.

Basta agora substituir cada valor de k para calcular cada complexo z.

Aproveito para dizer que no exercício c) faça uma substituição de incógnitas. Por exemplo, se c = x^3