[Integral] Integral funçao trigonometrica

por **ewald** » Qua Ago 17, 2011 22:33

$\int_{}^{}\frac{{cos}^{3}(x)}{{sen}^{4}(x)}dx$

Bem estou fazendo calculo II e tenho esta questao pra fazer. Tentei botar a questao para $\int_{}^{}{cotg}^{3}(x)cossec(x)dx$ mas nao me resolveu nada. No meu livro tem dicas para resolver questoes do tipo $\int_{}^{}{tg}^{m}(x){sec}^{n}(x)dx$ entao nao sei se posso modificar e usar para questoes envolvendo cotg e cossec.

Bem me adiantei e tentei modificar o que dizia o livro. A resposta nao ficou certa, mas posso ter errado algo.

Minha resposta deu $\frac{{-cossec}^{3}(x)}{3} +x +C$

Resposta certa é :
$\frac{-1}{3{sen}^{3}(x)} + \frac{1}{sen(x)} +C$ ou $\frac{{-cossec}^{3}(x)}{3} + cossec(x) +C$

por **LuizAquino** » Qua Ago 17, 2011 23:05

Note que:
$\int \frac{\cos^3 x}{\textrm{sen}^4\,x}\,dx = \int \frac{(1 - \,\textrm{sen}^2\, x )\cos x}{\textrm{sen}^4\,x}\,dx$

Faça a substituição $u = \textrm{sen}\, x$ e $du = \cos x \,dx$ . Ficamos então com:

$\int \frac{(1 - \,\textrm{sen}^2\, x )\cos x}{\textrm{sen}^4\,x}\,dx = \int \frac{1 - u^2}{u^4}\,du$

Agora termine de resolver.