[Trigonometria] Identidade trigonometrica

por **Alvadorn** » Sáb Ago 13, 2011 17:47

Determine a identidade de:
$\left( \sin x + \tan x\right) \left( \cos x + \cot x\right) = (1 + \sin x) (1 + \cos x)$

Preciso de uma ajuda na resolução.
Eu tentei chamar um termo de f(x)

e o outro de g(x)

e resolver separadamente, mas não deu muito certo.

Desde já agradeço.

por **Caradoc** » Sáb Ago 13, 2011 20:20

Como:
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \;\;\;\; \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}}$

Substituindo:

$\left( \sin x + \frac{\sin x}{\cos x}\right) \left( \cos x + \frac{\cos x}{\sin x}\right) = (1 + \sin x) (1 + \cos x)$

Multiplicando:

$\sin x \cos x + \cos x + \sin x + 1 = (1+\sin x)(1+\cos x)$

E reagrupando:

$(1 + \sin x) (1 + \cos x) = (1 + \sin x) (1 + \cos x)$

Mostramos que a identidade é verdadeira.
Acredito que seja isso.