Calcular a Integral de 1/4+x^2

por **lucat28** » Sex Ago 12, 2011 15:07

Boa tarde galera, eu queria saber se tem como calcular essa integral:

$\int_{}^{}\frac{1}{4+{x}^{2}}dx$

Sem precisar fatorar o ${4+{x}^{2}}$

e aproveitando o embalo, como se resolve a integral $\int_{}^{}\frac{x}{x+1}dx$ sem precisar usar substituição.

Tem um metódo que faz pra essa integral. que não usa substituição, não to conseguindo fazer, queria saber só por curiosidade mesmo.

Desde já, obrigado!

por **MarceloFantini** » Sex Ago 12, 2011 20:00

$\int \frac{1}{4} \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{2} \right)^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{1 + u^2} = \frac{tg^{-1} (u)}{2} + C$

Sobre o embalo:

$\int \frac{x}{x+1} \, dx = \int \frac{x +1 -1}{x+1} \, dx = \int \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right) \, dx = x - ln|x+1| + C$

por **LuizAquino** » Sex Ago 12, 2011 21:52

MarceloFantini escreveu: $\int \frac{1}{4} \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{2} \right)^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{1 + u^2} = \frac{tg^{-1} (u)}{2} + C$

Faltou apenas lembrar de substituir novamente u por x/2. Ficamos no final com:

$\int \frac{1}{4 + x^2} \, dx = \frac{\textrm{tg}^{-1}\, \left(\frac{x}{2}\right)}{2} + C$

Observação
Particularmente, eu prefiro escrever a inversa da função tangente com outra notação. Podemos escrever:
$\int \frac{1}{4 + x^2} \, dx = \frac{\textrm{arctg}\, \left(\frac{x}{2}\right)}{2} + C$

por **MarceloFantini** » Sex Ago 12, 2011 23:07

É questão de gosto, mas a notação que eu utilizei acredito ser mais natural quando pensada que é comum a todas as outras, enquanto arcos são específicos da trigonometria.