equações logarítmicas

por **Luan Cordeiro** » Sáb Ago 06, 2011 19:20

$2{log}_{4}(3x + 43) - {log}_{2}(x + 1) = 1 + {log}_{2}(x-3)$

creio que tenho de colocar um desses membors valendo "y", e depois mudar a base dos outros memboros de acordo com o que eu igualei a "y". mas eu não sei como fica.. eu queria uma ajuda nessa parte, por favor.
a solução é {7}

por **LuizAquino** » Dom Ago 07, 2011 13:39

A ideia básica é colocar todos os logaritmos na mesma base.

Perceba que isso está quase feito, com exerção do logaritmo que aparece com base 4.

Mas, sabemos que 4 é igual a 2². Além disso, conhecemos a propriedade:

$\log_{b^n} a = \frac{1}{n}\log_b a$

Isso significa que podemos escrever que:
$2\log_4 (3x+43) = 2\log_{2^2} (3x+43) = 2\left(\frac{1}{2}\right)\log_2 (3x+43) = \log_2 (3x+43)$

Agora podemos reescrever a equação como:

$\log_2 (3x + 43) - \log_2(x + 1) - \log_{2} (x-3) = 1$

Tente terminar o exercício lembrando-se de outra propriedade:

$\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c$

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