Numeros complexos

por **Angelica Abdalla** » Qua Jul 06, 2011 23:12

olá estou tentando resolver esta questão "Para z=?3/2+1/2 i, calcule 1+z+z^2+z^3+?+z^50", resolvi até z^12 e sei que nesta fecha o ciclo trigonométrico, como faço para resolver???? Alguém pode me auxiliar.

por **Molina** » Qui Jul 07, 2011 00:20

Boa noite, Angelica.

Você percebeu então que

$1 = z^{13} = z^{26} = ...$

$z = z^{14} = z^{27} = ...$

$z^{2} = z^{15} = z^{28} = ...$

...

Perceba que você pode agrupar esses 13 números que você percebeu que fazem parte do ciclo, não há necessidades de calcular todos depois. Some estes do ciclo e multiplique por 4, pois assim você está somando 4*13=52 números. Agora reflita, já que você só tem 51 números para somar... Qual número foi somado uma vez a mais?

:y:

por **MarceloFantini** » Qui Jul 07, 2011 00:43

Outro jeito é perceba que isto é uma PG, com primeiro termo 1 e razão z. Logo, basta calcular a soma com n=51

:

$S_{50} = \frac{1(z^{51} -1)}{z-1}$

Agora é simplificar isso.

por **FilipeCaceres** » Qui Jul 07, 2011 10:52

MarceloFantini escreveu:... calcular a soma com :

$S_{50} = \frac{1(z^{50} -1)}{z-1}$

Agora é simplificar isso.

Acho que cometeu um pequeno equivoco no valor de "n", observe que temos 51 termos e não 50, sendo assim devemos usar n=51

.

Abraço.

por **MarceloFantini** » Qui Jul 07, 2011 14:14

Perdão pelo erro. Arrumado.

por **vivi** » Qui Jul 07, 2011 22:53

Por acaso essa soma fica mais ou menos assim?

4(?3/2-1/2 i)+4(1/2+?3/2)+2i

por **vanessafey** » Dom Jul 10, 2011 13:50

Também estou com dúvidas nesta questão... e fiz de maneira diferente...

z^1=z^5=z^9=z^46=z

z^2=z^6=z^10=z^47=-1

z^3=z^7=z^11=z^48=-z

z^4=z^8=z^12=z^49=1

z^5=z^9=z^13=z^50=z

Logo,

1+z+z^2+z^3+...+z^50=1+20(z)+20(-1)+20(-z)+20(z)=1+20z-20-20z+20z=1

Seria isso???

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