Logaritmos & Exponenciais

por **joaofonseca** » Ter Jun 21, 2011 13:39

Seja a função:
$N(t)=2011\cdot e^{0.02\cdot t}$

Em que N é a quantidade de plantas após t dias.

Determine x de forma que para qualquer t se verifique:
$N(t+x)=2\cdot N(t)$

A interpretação deste problema é: passados x dias do dia t tem-se o dobro das plantas.
Eu tentei:

$2011\cdot e^{0.02(t+x)}=2\cdot 2011\cdot e^{0.02t}$

$e^{0.02(t+x)}=2011\cdot e^{0.02t}$

$0.02(t+x)=ln (2011\cdot e^{0.02t})$

$0.02(t+x)=ln (2011)+ln(e^{0.02t})$

0.02t+0.02x=ln (2011)+0.02t

$x=\frac{ln2011}{0.02}$

No entanto o resultado a que eu cheguei não coincide com o gabarito (34,7) nem com a representação gráfica.

Onde errei?
Obrigado pela ajuda

por **Molina** » Ter Jun 21, 2011 14:45

Boa tarde, João.

Da primeira para segunda linha, acho que você se confundiu, pois "tirou" o 2011 de um lado e o 2 do outro lado.

joaofonseca escreveu: $2011\cdot e^{0.02(t+x)}=2\cdot 2011\cdot e^{0.02t}$

$e^{0.02(t+x)}=2011\cdot e^{0.02t}$

O certo seria:

$2011\cdot e^{0.02(t+x)}=2\cdot 2011\cdot e^{0.02t}$

$e^{0.02(t+x)}=2\cdot e^{0.02t}$

$e^{0.02t+0.02x}=2\cdot e^{0.02t}$

$e^{0.02t} \cdot e^{0.02x}=2\cdot e^{0.02t}$

$e^{0.02x}=2$

$lne^{0.02x}=ln2$

$0.02x \cdot lne=ln2$

0.02x =ln2

$x =\frac{ln2}{0.02}$

:y:

por **Claudin** » Ter Jun 21, 2011 15:11

O erro foi em retirar o 2011 somente do 1º membro.

E uma observação seria quando for aplicar o logaritmo neperiano, você foi bem direto utilizando propriedade de logaritmos no 1º membro, tendo como resultado os expoentes, tente desenvolver como o Molina passo a passo, irá evitar erros e facilita o entendimento dos demais usuários do fórum.

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