Integrais

por **pseytow** » Qui Nov 27, 2008 21:54

existem duas integrais que estou tentando resolver faz algum tempo... infelizmente, sinto que nao estou perto.
se puderem me ajudar, aqui estão:
$\int_{}^{}\frac{\left(x+1 \right)}{\sqrt[2]{x}-1}$

$\int_{}^{}\frac{\left(1-\sqrt[2]{x} \right)}{1+\sqrt[2]{x}}$
(tem que ser feitas por substituição)
tranco logo no início:
$u=\sqrt[2]{x}-1$

$\int_{}^{}\frac{x+1}{2u\sqrt[2]{x}}$
nao consigo eliminar o x para poder integrar!
se puderem me indicar o caminho...
obrigado,
pseytow

por **Adriano Tavares** » Qui Mar 10, 2011 01:52

Olá,pseytow.

$\int \frac{(x+1)}{\sqrt{x}-1}dx$

Fazendo-se x=y^2

teremos:

$\int \frac{(x+1)}{\sqrt{x}+1}dx=\int \frac{(y^2+1)2y}{y-1}dy=2\int \frac{y^3+y}{y-1}dy=2\int \frac{y^3-1+y+1}{y-1}dy=$

$2\left[\int \frac{y^3-1}{y-1}dy+\int \frac{y+1}{y-1}dy\right]=2\left[\int \frac{(y-1)(y^2+y+1)}{(y-1)}dy+\int \frac{y+1}{y-1}dy\right]=$

$2\left[\int (y^2+y+1)dy+\int \frac{y}{y-1}dy +\int \frac{dy}{y-1}\right]=$

Calculando essas integrais separadamente teremos:

$\int (y^2+y+1)dy={ \frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2} +y+C_1+C_2+C_3$

$\int \frac{y}{y-1}dy =y-1+ln\mid y-1 \mid +C4$

$\int \frac{dy}{y-1}=ln \mid y-1 \mid +C_5$

$\int \frac{x+1}{\sqrt{x}-1}dx=2\left(\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}+2y-1+2ln \mid y-1 \mid +C_1+C_2+C_3+C_4+C_5 \right)$

Fazendo-se C_1+C_2+C_3+C_4+C_5=C

e substituindo o valor de

teremos:

$\int \frac{x+1}{\sqrt{x}-1}dx=2\left(\frac{x\sqrt{x}}{3}+\frac{x}{2}+2\sqrt{x}-1+2ln\mid \sqrt{x} -1\mid+C \right))$

$\int \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx$

Racionalizando $\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ encontraremos $\frac{1-2\sqrt{x}+x}{1-x}$

$\int \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=\int \frac{x-2\sqrt{x}+1}{1-x}dx$

Fazendo-se x=y^2

teremos:

$\int \frac{x-2\sqrt{x}+1}{1-x}dx=\int \frac{2y(y^2-2y+1)}{1-y^2}dy=-2\int \frac{y(y-1)^2}{y^2-1}dy=$

$(-2)\int \frac{y(y-1)^2}{(y+1)(y-1)}dy=-2\int \frac{y(y-1)}{(y+1)}dy=-2\int \frac{y^2-y}{y+1}dy$

Fazendo-se y+1=t

teremos:

$(-2)\int \frac{y^2-y}{y+1}dy=-2\int \frac{(t-1)^2-(t-1)}{t}dt=-2\int \frac{t^2-2t+1-t+1}{t}dt$

$(-2)\int \frac{t^2-3t+2}{t}dt=-2\int \left(t-3+\frac{2}{t}\right)dt =$

$(-2)\left(\int tdt-3\int dt +2\int \frac{dt}{t}\right)=-2\left(\frac{t^2}{2}-3t+2ln\mid t \mid +C_1+C_2+C_3\right)$

Sendo y=t-1

e $y=\sqrt{x}$ tem-se que $t=\sqrt{x}+1$

C_1+C_2+C_3=C

Substituindo o valor de

teremos:

$\int \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=-2\left(\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{2}-3(\sqrt{x}+1)+2ln \mid \sqrt{x}+1 \mid +C \right)$

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