Vértices da pirâmide

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Vértices da pirâmide

Mensagempor -civil- » Qui Jun 16, 2011 03:00

O vértice de uma pirâmide regular é P = (\sqrt2, 2, 0) e sua base é um quadrado ABCD contido no plano \pi : x - z = 0.
Sendo A = (0, 2, 0), determine os outros três vértices.

É possível achar a distância entre A e P. Como a pirâmide é regular, d(P,A) = d(P,B) = d(P,C) = d(P,D). Se eu tentar encontrar todos os pontos contidos no plano \pi que possuem distância até P igual à distância de P até A, eu vou encontrar uma circunferência. Nessa circunferência está base da pirâmide. Eu preciso achar o quadrado (base da pirâmide) que está nessa circunferência para depois encontrar os três vértices. Mas como encontrar essa circunferência? E encontrada essa circunferência como achar os vértices?

Agradeço pela ajuda
-civil-
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Re: Vértices da pirâmide

Mensagempor LuizAquino » Qui Jun 16, 2011 18:55

Dica

Em uma pirâmide regular, a projeção ortogonal do vértice sobre a base coincide com o centro da base.

Como a base é um quadrado, o seu centro corresponde ao encontro de suas diagonais.

Vale lembrar que as diagonais de um quadrado são perpendiculares e se cruzam em seus pontos médios.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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