Questão com integral

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Questão com integral

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Questão com integral

Mensagempor Cristiano Tavares » Sáb Jun 11, 2011 00:06

Olá pessoal,

Não estou conseguindo resolver a questão que segue abaixo, vocês podem me ajudar?

Se f(x) é uma função real e derivável tal que a integral de f '(x) tgx dx é igual a sen³x + C e f(0)= - 1, então f (pi/2) = 1. Verdadeiro ou falso?

Estou encontrando dificuldade para obter a expressão de f(x) a partir da integral de f '(x) tgx dx.
Cristiano Tavares
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Re: Questão com integral

Mensagempor LuizAquino » Sáb Jun 11, 2011 18:25

Por definição, sabemos que \int f(x)\,dx = F(x) significa que f(x) = F'(x).

No exercício, teremos que f^\prime(x)\textrm{tg}\,x = (\textrm{sen}^3\,x + C)^\prime .

Arrumando esse equação, obtemos f^\prime(x) = 3\textrm{sen}\,x\cos^2 x .

Para determinar f, integramos ambos os membros dessa equação. Desse modo, temos f(x) = 3\int \textrm{sen}\,x\cos^2 x\, dx .

Para calcular essa integral, faça a substituição u = \cos x .

Em seguida, use a informação f(0) = -1 para determinar a constante que aparece na integração.

Por fim, calcule o valor de f(pi/2).
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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