Limite

[Claudin]

Esse exercício, quando resolvo utilizando racionalização no inicio encontrei como resposta

Porém um amigo meu fez de outro modo substituindo o por

ai faz as devidas operações e depois ele faz racionalização no final e encontrou

Então gostaria de saber o porque dos resultados distintos, e se alguém puder postar a resolução correta!

Obrigado

[ARCS]

Na realidade as duas respostas estão errada. Em casos como este você não pode racionalizar muito menos aplicar a regra de L'Hôpital pois você não tem uma indeterminação.
Note que quando x tende a 2 o numerador tende e o denominador tente a zero. Da definição de limite temos que para que o limite exista precisamos que os limites laterais existam e ambos sejam iguais. Observem que de um lado o limite é mais infinito e de outro menos infinito, ou seja os limites laterais não existe(lembre que infinito não é um número) e muito menos são iguais.

[carlosalesouza]

Uma pequena ressalva... distração do colega, quando x tenda a 2, o numerador tende a ...

De resto, é exatamente isso...

Os limites laterais, quando x tende a 2 são infinitos e distintos... logo, a função é descontínua em x=2...

Um abraço

[carlosalesouza]

Com relação aos limites laterais, é necessários verificar, porque no ponto x=2,



Agora,
sendo u = x-2, quando x<2, u<0
e quando x>2, u>0

e sendo , onde f(x) é sempre maior que 0, pois o menor valor aceitável para a raíz de x é 0 e 0+4 = 4...

então

Assim, se x<2, (v/u) com u<0 tende ao infinito negativo, pois v é positivo e u é negativo muito próximo de zero...
do mesmo modo, se x>0, (v/u), com u>0 tende ao infinito positivo, pois v e u são positivos e u é muito próximo de zero...

Ok?

Um abraço