Limite trigonometrico indeterminado

por **ewald** » Qui Mai 26, 2011 15:15

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-{cos}^{4}x}{{x}^{2}}$

Oi alguem pode ajudar com a resoluçao deste limite,, ja tentei botar o numerador para algo parecido com sen²x + cos²x = 1 ;;; ja tentei botar no limite fundamental $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x} = 1$ mas nao deu nada certo. Tentei tambem multiplicar pelo conjugado e nada.

Alguem por favor pode ajudar

por **LuizAquino** » Qui Mai 26, 2011 15:31

Dica

Note que: $1 - \cos^4 x = (1 - \cos^2 x)(1 + \cos^2 x)$ .

por **ewald** » Qui Mai 26, 2011 15:43

Nossa ,, mania de pensar sempre as coisas mais complicadas primeiro.

Brigadao,, ajudou muito!

por **Claudin** » Qui Mai 26, 2011 16:56

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cos^4x}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-cos^2x)(1+cos^2x)}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(sen^2x)(-sen^2x)}{x^2}$

$(\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^2x}{x}). (\lim_{x\rightarrow0}\frac{(-sen^2x)}{x}) = (\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^2x}{x}) . (\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{sen^2x})$

$\lim_{x\rightarrow0} \frac{sen^2x^2}{sen^2x^2} = 1$

seria essa a resposta?

por **FilipeCaceres** » Qui Mai 26, 2011 17:23

Resposta:
$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-{cos}^{4}x}{{x}^{2}}=2$

por **Claudin** » Qui Mai 26, 2011 21:56

Não sei se tem algo haver
mas o limite sendo de uma função trigonométrica poderia aceitar o valor 2?

por **FilipeCaceres** » Qui Mai 26, 2011 22:00

$(\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^2x}{x}). (\lim_{x\rightarrow0}\frac{(-sen^2x)}{x}) = (\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^2x}{x}) . (\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{sen^2x})$

Cuidado!!
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(-sen^2x)}{x} \neq \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{sen^2x}$

por **Claudin** » Qui Mai 26, 2011 22:12

Agora que notei esse erro!

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^4x}{x^2}$

Iria ficar assim então? E para proceder?

por **FilipeCaceres** » Qui Mai 26, 2011 22:20

Eu resolveria assim,
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cos^4x}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-cos^2x)(1+cos^2x)}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(sen^2x)}{x^2}.(1+cos^2x)$

$\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{senx}{x}\right)^2.(1+cos^2x)=\left(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x}\right)^2.\lim_{x\rightarrow 0}(1+cos^2x)=1^2.2=2$

Espero que seja isso.

por **LuizAquino** » Sáb Mai 28, 2011 19:06

Claudin escreveu:Não sei se tem algo haver
mas o limite sendo de uma função trigonométrica poderia aceitar o valor 2?

Você está confundindo os conceitos sobre funções trigonométricas. Eu recomendo que você faça uma revisão sobre esse conteúdo. Por exemplo, assista a vídeo-aula abaixo sobre a função cosseno:
Aula sobre Função Cosseno
http://www.youtube.com/watch?v=ah4kMSpI7fY
Aproximadamente a partir dos 4:37 começa uma explicação que está relacionada a essa sua dúvida.

por **Claudin** » Dom Mai 29, 2011 01:27

Notei meu erro la em cima

quando substitui 1 + cos^2x

por

o que está errado!

Abraço

por **MarceloFantini** » Dom Mai 29, 2011 02:32

Para verificar, pegue um valor simples e verá que está errado, como 0: $1 + cos^2 0 = 1 + 1 = 2 \neq - sen^2 0 = 0$ . Se ainda assim não acreditar, tente montar a relação fundamental e verá que está errado.