Limite pela definição

por **-civil-** » Qui Mai 26, 2011 02:37

Preciso calcular esse limite pela definição:

$g(x)=\sqrt{2x+1}$ em p = 1

Eu desenvolvi e cheguei até isso:

$g^\prime(x)\ = \lim_{\ x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{\(x-0}$ = ... = $\lim_{\ x\to0}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{\ x}$

Eu imagino que eu preciso cancelar alguma coisa nesse limite para não dar indefinição, mas eu não consigo pensar em nenhuma forma de fazer isso.

por **demolot** » Qui Mai 26, 2011 07:10

se separares ficas:

$\frac{\sqrt[]{2x+1}}{x}-\frac{1}{x}$

aplicado o limite vais ter

1/0 - 1/0 = 00 - 00

por **-civil-** » Qui Mai 26, 2011 09:48

Percebi que quando escrevi aqui acabei colocando p=1 em vez de p=0. De qualquer forma, eu utilizei nos cálculos p=0 e fazendo o que você mostrou, meu resultado vai ser 0. Só que o gabarito (7.17 - 1 (b) do Guidorizzi) mostra que a solução é 1.

por **FilipeCaceres** » Qui Mai 26, 2011 10:45

Não seria isto??
$\lim_{x\to 0}{\sqrt{2x+1}}=\sqrt{\lim_{x\to 0}(2x+1)}=1$

por **Claudin** » Qui Mai 26, 2011 11:14

Eu calcularia do mesmo modo que o Felipe calculou!

Abraço

por **LuizAquino** » Qui Mai 26, 2011 13:31

-civil- escreveu:Preciso calcular esse limite pela definição:

$g(x)=\sqrt{2x+1}$ em p = 1

-civil- escreveu:Percebi que quando escrevi aqui acabei colocando p=1 em vez de p=0.
(...)
Só que o gabarito (7.17 - 1 (b) do Guidorizzi) mostra que a solução é 1.

Por favor, tenha mais atenção ao enviar o exercício.

Na verdade o texto que consta nessa seção do Guidorizzi é:

1. Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.
(...)
b) $g(x) = \sqrt{2x + 1}$ em p = 0.

Em resumo: o exercício solicita que seja calculada a derivada pela definição e não o limite pela definição como você escreveu em sua primeira mensagem.

Agora, vejamos o exercício correto.

Aplicando a definição de derivada, temos que:
$g^\prime(0) = \lim_{x\to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2x+1} - 1}{x}$ .

Agora, para continuar o exercício você precisa multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por $\sqrt{2x+1} + 1$ .