Exercicio de 'Prove que...' guidorizzi.

[TheoFerraz]

A questão é a seguinte:

Sejam f e g duas funçoes deriváveis em (a,b) tais que f '(x) < g '(x) para todo x em (a,b). Suponha que exista c em (a,b) tal que f(c)=g(c). Prove que f(x) < g(x) para x > c, e f(x) > g(x) para x < c.

O exercicio está na parte de intervalos de crescimento e descrescimento, concavidades, pontos de inflexão, maximos e mínimos, Teorema do val. medio, essas coisas, do guidorizzi.


Obrigado.
Atenciosamente, Theo ferraz

[LuizAquino]

Observação
Por uma das hipóteses do exercício temos que f e g são diferenciáveis em (a, b), o que significa que f e g são contínuas em (a, b).

Precisamos ainda considerar que f e g são contínuas em x = a e x = b, para que desse modo f e g sejam contínuas em [a, b].

Isso será necessário para podermos usar o Teorema do Valor Médio.

Dica
Divida o intervalo [a, b] em dois intervalos: [a, c] e [c, b].

Aplique o T. V. M. em ambos os intervalos e use a hipótese que f'(x) < g'(x) para todo x em (a, b).