Silplificação de Radicais e Potenciação

por **Jorge Rodrigo** » Qua Mai 18, 2011 20:41

Boa noite!
Meu nome é Jorge Rodrigo e estou cursando duas disciplinas (que ficaram pendentes no meu primeiro período, atualmente estou no segundo, mas cursando ainda essas disciplinas) do primeiro período de matemática na Rural de Nova Iguaçu e gostaria, se possível, que me ajudassem a resolver uma questão da minha lista de exercícios.... ai vai:
$\sqrt[]{{\left[ \frac{1}{2}*\left(\frac{a}{b} \right)^\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}*\left\left(\frac{b}{a} \right)^\left(\frac{-1}{2} \right)\right]}^{-2}+1}$

O gabarito é: a + b/|a - b|.

Abaixo segue minha resolução:

Aplicando propriedades das potências, temos:
$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[ \frac{1}{2}*\sqrt[]{\frac{b}{a}} -\frac{1}{2}*\sqrt[]{\frac{a}{b}}\right]}^{-2}+1}$

Introduzindo um fator no radical, temos:
$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[\frac{\sqrt[]{b}}{\sqrt[]{4a}}-\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{4b}}\right]}^{-2}+1}$

Aplicando propriedades da potências, temos:
$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[\frac{\sqrt[]{4a}}{\sqrt[]{b}}-\frac{\sqrt[]{4b}}{\sqrt[]{a}}\right]}^{2}+1}$

Igualando os denominadores, temos:
$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[\frac{{2a}}{\sqrt[]{ba}}-\frac{{2b}}{\sqrt[]{ba}}\right]}^{2}+1}$

Aplicando produtos notáveis, temos:
$\Rightarrow\sqrt[]{\frac{{4a}^{2}}{ba}-\frac{8ab}{ba}+\frac{{4b}^{2}}{ba}+1}$

Resolvendo a expressão, temos:
$\Rightarrow\sqrt[]{{4a}^{2}-{7ab}+{4b}^{2}}$

... consegui chegar até aqui!

por **MarceloFantini** » Qua Mai 18, 2011 21:19

Errou nas segunda propriedade de potências. Tem que ser uma fração única para aplicar, e não aplicar a cada fração individual. Tente refazer.

por **Molina** » Qua Mai 18, 2011 21:25

Boa noite, Jorge. Seja bem vindo!

Seus acertos foram até aqui:

Jorge Rodrigo escreveu: $\Rightarrow\sqrt[]{{\left[ \frac{1}{2}*\sqrt[]{\frac{b}{a}} -\frac{1}{2}*\sqrt[]{\frac{a}{b}}\right]}^{-2}+1}$

$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[\frac{\sqrt[]{b}}{\sqrt[]{4a}}-\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{4b}}\right]}^{-2}+1}$

Primeiro resolva a subtração e depois inverta a fração para alterar o sinal do expoente:

$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[\frac{\sqrt[]{b}*\sqrt{4b}}{\sqrt[]{4a}*\sqrt{4b}}-\frac{\sqrt[]{a}*\sqrt{4a}}{\sqrt[]{4b}*\sqrt{4a}}\right]}^{-2}+1}$

$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[\frac{2 |b|}{\sqrt[]{16ab}}-\frac{2 |a|}{\sqrt{16ab}}\right]}^{-2}+1}$

$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[\frac{2 |b| - 2 |a|}{\sqrt[]{16ab}}\right]}^{-2}+1}$

$\Rightarrow\sqrt[]{{\left[\frac{\sqrt[]{16ab}}{2 |b| - 2 |a|}\right]}^{2}+1}$

$\Rightarrow\sqrt[]{{\frac{16ab}{(2 |b| - 2 |a|)^2 }}+1}$

$\Rightarrow\sqrt[]{{\frac{16ab+(2 |b| - 2 |a|)^2}{(2 |b| - 2 |a|)^2 }}}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{16ab+(2 |b| - 2 |a|)^2}}{\sqrt{(2 |b| - 2 |a|)^2 }}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{16ab+ 4 b^2 -8ab + 4 a^2}}{|2 |b| - 2 |a|| }$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{4(4ab+ b^2 -2ab + a^2)}}{2|b - a| }$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{4( b^2 +2ab + a^2)}}{2|b - a| }$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{4( a + b)^2}}{2|b - a| }$

$\Rightarrow \frac{a + b}{|b - a|}$

Amigo, dá uma revisada nesses módulos, pois acho que teve passagem que eu "forcei a barra" para chegar no resultado final. Questão um tanto quanto cansativa para o mesmo que escrever conseguir revisar e achar um erro.

Bom estudo! :y:

por **norberto** » Qua Mai 18, 2011 21:33

Oi Jorge :

Você estava até se saindo bem. Mas tem um momento em que você comete um engano muito comum.
O fato de :

${\left[ \frac{m}{n} \right]}^{-2}$ = ${\left[ \frac{n}{m} \right]}^{2}$

não significa que :

${\left[ \frac{m}{n} + \frac{o}{p} \right]}^{-2}$ = ${\left[ \frac{n}{m} + \frac{p}{o} \right]}^{2}$

Na verdade, você tem que converter o valor entre colchetes em uma única fração. Neste caso, seria :

(1) ${\left[ \frac{m}{n} + \frac{o}{p} \right]}^{-2}$ = ${\left[ \frac{pm + no}{np} \right]}^{-2}$

E agora sim :

(2) ${\left[ \frac{pm + no}{np} \right]}^{-2}$ = ${\left[ \frac{np}{pm + no} \right]}^{2}$

Creio que você conseguirá desenvolver a questão a partir daí.
Caso contrário, poste suas dúvidas.

por **Jorge Rodrigo** » Sex Mai 20, 2011 02:47

Boa noite pessoal!!!!

Primeiramente gostaria de agradecer pelas orientações na resolução da questão. Só permaneceu uma pequena dúvida. O gabarito do livro dá como resultado:
a + b/|a - b| e não a + b/|b - a|. Ou pelo fato de ser módulo a ordem do termos não importa (pois o módulo de um número é sempre positivo: |a| = {a, se a >=0 ou -a, se a<0), ou seja, posso aplicar a propriedade comutativa nesse final?

Desde já, muito obrigado

por **Molina** » Sex Mai 20, 2011 10:29

Bom dia, Jorge.

Isso mesmo.

Note que, por exemplo, |7-5|=|5-7|=2

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