Aff... MAIS DÙVIDAS - UFMG e FUVEST

[Kelvin Brayan]

Olá amigos, ultimamente, eu tenho resolvido muitos exercícios com problemas envolvendo divisibilidade, MDC e MMC. E eu estou com mais uma dúvida, vejam:

(UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros e positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é
A) 10
B) 17
C) 17²
D) 1+2+...+17
E)1²+2²+...+17²

(FUVEST) Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4, e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar em uma segunda-feira será quando?

Só sei que anos bissextos são 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, ... - anos de Olimpíadas !

Eu até pensei numa forma de fazer, mas sei que será muito demorado e provavelmente há uma maneira mais fácil de resolver esse problema, principalmente porque essa questão é de vestibular e como todo mundo sabe : no vestibular você não tem muito tempo pra ficar pensando...


Obrigado !

[LuizAquino]

Dicas

(UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros e positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é

Se o número inteiro a for dividido pelo número inteiro d, resultando o quociente q e o resto r, então temos que a = d*q + r, com |r| < d.

Nesse exercício, temos que d=17.

Além disso, sendo q o quociente, temos que nesse exercício o resto será q².

Desse modo, deve ocorrer q² < 17.

(FUVEST) Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4, e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar em uma segunda-feira será quando?

Considere que um ano normal (com 365 dias) comece na segunda-feira. Relacionando os dias da semana com os números, temos que:

• segunda-feira -- 1;
• terça-feira -- 2;
• quarta-feira -- 3;
• quinta-feira -- 4;
• sexta-feira -- 5;
• sábado -- 6;
• domingo -- 7.

Dado o n-ésimo dia do ano (ou seja, n natural tal que 1 <= n <= 365) se queremos saber em que dia da semana ele cairá, então basta tomar o resto da divisão de n por 7. Se o resto for de 1 à 6, então temos os dias de segunda-feria à sábado. Mas, se o resto for zero, então temos um domingo. Por exemplo, o dia 10 cariá na quarta-feira. Já o dia 40 cairá na sexta-feira. Note que o dia 365 cairá em uma segunda-feria.

De modo geral, em um ano normal temos que ele começa e termina no mesmo dia da semana.

Agora, imagine que fosse um ano bissexto também começando em uma segunda-feria. Tomando o resto da divisão de 366 por 7, obtemos 2. Ou seja, esse ano termina em uma terça-feira.

De modo geral, em um ano bissexto temos que se ele começa no dia x da semana, então ele termina no dia x+1. Por exemplo, se ele começa na terça-feira, então ele termina na quarta-feira.