Imagem da Função

por **edumstpu** » Ter Abr 19, 2011 23:23

Supondo que:
$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$

Preciso determinar a imagem. Conheço o método gráfico de fazer isso. Porém o que procuro é o método analítico de se fazer.

Um exemplo de método analítico é a seguinte expressão:
f(x)=x^2+4

Minha imagem será os reais. Posso utilizar o método da seguinte forma:
Como D=R,
$x\geq0$ e x<0

(Para elevar ao quadrado, deve ter sinal de superior >)
$x^2\geq0$ e -x>0

$x^2+4\geq0+4$ e $x^2\geq0$ (continua e termina como o do lado esquerdo).
$y\geq4$

O problema é que já tentei fatorar a primeira função de todas as formas, e não consigo encontrar um jeito de encontrar a imagem dela analiticamente.

Agradeço a ajuda.
Até logo.

por **LuizAquino** » Qua Abr 20, 2011 10:42

Dúvida já respondida pelo colega NMiguel.

por **NMiguel** » Qua Abr 20, 2011 21:17

Analiticamente, podemos fazer o seguinte:

Em primeiro lugar, calcular os zeros do denominador. Os zeros do denominador não farão parte da imagem.
x+1=0 <=> x=-1

Em seguida, para calcular a imagem da função basta calcularmos os valores de k para os quais a equação $f(x)=\frac{x^2}{x+1}=k$ tem solução.

$f(x)=\frac{x^2}{x+1}=k <=> x^2 = k(x+1) <=> x^2 = kx + k <=> x^2 - kx - k = 0 <=> x = \frac{k +/- \sqrt{k^2+4*k}}{2}$

Os valores de k para os quais esta equação não tem solução são os valores tais que k^2+4*k<0 <=> k(k+4)<0 <=> (k<0 e k+4>0) ou (k>0 e k+4<0) <=> (k<0 e k>-4) ou (k>0 e k<-4) <=> -4<k<0

k^2+4*k<0 <=> k(k+4)<0 <=> (k<0 e k+4>0) ou (k>0 e k+4<0) <=> (k<0 e k>-4) ou (k>0 e k<-4) <=> -4<k<0

Logo, a imagem da função será y<-4 ou y>0

Não devemos esquecer que -1 não pertence ao domínio da função e por isso, devemos verificar que o valor que encontramos para x=-1 pertence à imagem.

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