Qual o valor de (-1)^2/6?

por **Abelardo** » Ter Abr 12, 2011 23:55

Esse dúvida foi retirada do email ''obm-l@mat.puc-rio.br'' e achei interessante, gostaria de ver a opinião de outros. Estou voando demais com isso kkk..

Obs: Sei que $\sqrt[]{{x}^{2}}=\left|x \right|$ para todo o número real x e que raiz quadrada de número negativo não está definida no conjuntos dos números reais. Aprendi isso de tanto ver neste fórum kkk!

(-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = -1

'''''No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência ${(-1)}^{\frac{2}{6}}$ ? É 1? Ou é -1?

Bem... costumo agir assim: ${(-1)}^{\frac{2}{6}}$ = ${(-1)}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{-1} = -1$

Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível.'''''

Uma outra pessoa apresentou isso também --> ${(-1)}^{\frac{2}{6}}=(-1)^{\frac{1}{3}}=-1 [(-1)^{2}]^\frac{1}{6}=(1)^\frac{1}{6}=1$

por **MarceloFantini** » Qua Abr 13, 2011 00:42

Quando o radicando é negativo, resolvemos o numerador primeiro e depois o denominador do expoente. Acredito que a resposta seja 1.

por **FilipeCaceres** » Qua Abr 13, 2011 02:15

Para que a resposta seja 1
Acho que o correto seria escrever $[(-1)^2]^{\frac{1}{^6}}=\sqrt[6]{1}=1$ mas isso não foi a pergunta inicial.

Mas se o parêntese for apenas para isolar, e é o que eu acredito, então teremos:
$(-1)^{\frac{2}{6}}=(-1)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-1}=-1$

Abraço.

por **LuizAquino** » Qua Abr 13, 2011 08:54

Da mesma forma que $\sqrt{(-1)^2}$ é igual a 1, temos que $\sqrt[6]{(-1)^2}$ é igual a 1.

Note que os exemplos acima podem ser reescritos como $(-1)^\frac{2}{2}$ e $(-1)^\frac{2}{6}$ . O detalhe é que primeiro devemos resolver (-1)^2

, para só depois resolver $1^\frac{1}{2}$ e $1^\frac{1}{6}$ , assim como disse Fantini.

por **FilipeCaceres** » Qua Abr 13, 2011 10:20

Quando postei anteriormente estava pensando em outro caso,devemos seguir a ordem
Potenciação ou Radiciação;
Multiplicação ou Divisão;
Adição ou Subtração.

Abraço.

por **FilipeCaceres** » Qua Abr 13, 2011 10:39

O caso inicial que ele passou $(-1)^{(\frac{2}{6})}$
Sendo assim temos $(-1)^{(\frac{1}{3})}=-1$

Este é o caso que eu estava me referindo, mas que acabei esquecendo de por os parênteses.
Tendo em mente que as prioridades: parênteses,colchetes,chaves...

Não vejo erro nisso.

Mas no entanto se não tiver estes parênteses concordo plenamente que é 1.

Abraço.

por **MarceloFantini** » Qua Abr 13, 2011 19:31

Isto está me lembrando aquela famosa discussão: $\sqrt{4} = \pm 2$ ? Afinal de contas, dois jeitos de ver: $(-2)^{\frac{2}{2}} = (-2)^1 = -2$ ou $(-2)^{\frac{2}{2} = \sqrt{4} = 2$ . Qual está certo, aplicar potenciação primeiro ou simplificar expoente? Algo está errado se não tivermos regras fixas. Claro que, podem haver casos onde fazer é equivalente, mas existe um que deve predominar e os outros terão de ser equivalentes a esse para que não haja confusão. Sendo assim, acredito que o dominante seja a potenciação e depois resolvam os outros ou simplifiquem o expoente.

por **FilipeCaceres** » Qua Abr 13, 2011 19:58

As pessoas se confundem achando que $\sqrt{4}=\pm2$ e não $\sqrt{4}= 2$ , pode-se dizer que o "vilão" disso está não fórmula de báskara onde temos o $\pm$ antes da raiz, o que induz as pessoas acreditar que quando tirar $\sqrt$ teremos um valor positivo e outro negativo e também pelo fato de que (-2)^2=2^2=4

,por exemplo.

por **MarceloFantini** » Qua Abr 13, 2011 20:10

Exatamente. Se (-2)^2 = 2^2 = 4

, porque não (-1)^2 = 1^2 = 1

? É o mesmo problema. "Ah, mas tem a raíz cúbica." Então se fosse raíz cúbica teria mais de uma solução? Não faz sentido. Portanto, reitero que a resposta deve ser 1.

por **FilipeCaceres** » Qua Abr 13, 2011 20:23

Concordo plenamente, a não ser que esteja escrito desta forma $(-1)^{(\frac{2}{6})}$ , se for assim, acredito que a resposta será $(-1)^{(\frac{1}{3})}=-1$ .

Estou certo?

Abraço.

por **MarceloFantini** » Qua Abr 13, 2011 20:27

Acredito que não, pois $(-1)^{\frac{2}{6}} \iff \sqrt[6]{(-1)^2}$ .

por **FilipeCaceres** » Qua Abr 13, 2011 20:47

Mas assim vc não está considerando os parênteses do $\left(\frac{2}{6}\right)$ .

Se considerar não teremos $(-1)^{(\frac{1}{3})}=-1$ ?

por **MarceloFantini** » Qua Abr 13, 2011 20:49

Não, não faz diferença os parênteses no expoente. A simplificação não depende de estar entre parênteses ou não.

por **joao_pimentel** » Qua Dez 14, 2011 20:17

Caríssimos

Considerando apenas os números Reais e não os Complexos $(-1)^{2/6}$ só pode ser -1 e nunca 1

Lembrem-se que $(a^b)^c=a^{bc}$ só é válido quando a>0

Assim, $(-1)^{2/6}=(-1)^{1/3}=-1$

Não tem nada a ver com parentesis como já foi referido, sendo o resultado apenas -1

Cumprimentos

por **LuizAquino** » Qua Dez 14, 2011 21:23

joao_pimentel escreveu:Considerando apenas os números Reais e não os Complexos $(-1)^{2/6}$ só pode ser -1 e nunca 1

Não. Temos que $(-1)^{\frac{2}{6}} = 1$ .

joao_pimentel escreveu:Lembrem-se que $(a^b)^c=a^{bc}$ só é válido quando a>0.

Errado. Se b e c são números inteiros e a é um número real não nulo, então a identidade é sempre válida.

Por exemplo, note que:

$\left[(-1)^3\right]^2 = \left[-1\right]^2 = 1$

Por outro lado, temos que:

$\left[(-1)^3\right]^2 = (-1)^6 = 1$

Entretanto, se a, b e c são números reais, então a identidade é sempre válida apenas quando a > 0.

Isso porque, para a<0, dependendo do valor de b e c a operação pode ser inválida.

Por exemplo, a identidade $\left[(-1)^3\right]^\frac{1}{2} = (-1)^\frac{3}{2}$ é inválida no conjunto dos reais. Já a identidade $\left[(-1)^3\right]^\frac{1}{5} = (-1)^\frac{3}{5}$ é perfeitamente válida.

por **joao_pimentel** » Qui Dez 15, 2011 08:28

Meu caro. São questões complexas que aqui coloca.

No entanto $(-1)^{2/6}$ só pode ser

no meu entender

Não sei exatamente qual o domínio da função $f(x)=(-1)^x, x\in\Re$ ou mais generalizadamente $f(x)=x^x, x\in\Re$ ou ainda o domínio bidimensional da função $f(x,y)=((-1)^x)^y, (x,y)\in\Re^2$ ou ainda $f(x,y)=x^y, (x,y)\in\Re^2$

São questões intrigantes, mas continuo a achar que neste caso nada tem a ver com parentesis, pois o expoente e a base resolvem-se sempre de forma independente. Assim neste caso $(-1)^{2/6}=(-1)^{1/3}=-1$

Cumprimentos

por **LuizAquino** » Qui Dez 15, 2011 09:21

joao_pimentel escreveu:No entanto $(-1)^{2/6}$ só pode ser -1 no meu entender.

Pela definição de potenciação com expoente racional, dados m e n naturais (com n não nulo) e a real temos que:

$a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$ , quando a raiz n-ésima estiver bem definida.

Agora note que:

$(-1)^\frac{2}{6} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]{1} = 1$

por **joao_pimentel** » Qui Dez 15, 2011 09:28

Presumo que tal regra para este expoente só seja válida quando a>0

, pois $\ \ \frac{a}{b}$ neste caso dá um número racional e não pode resultar da multiplicação de dois inteiros

por **fraol** » Dom Fev 12, 2012 11:53

Que intrigante essa questão!

Nessa discussão temos dois resultados distintos:

$(-1)^\frac{2}{6} = (-1)^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{-1} = -1$

e

$(-1)^\frac{2}{6} = \left( (-1)^2 \right)^\frac{1}{6} = 1$

Logo tem algo errado aí.

Isso nos faz considerar a expressão expoente racional na forma irredutível para a definição desse tipo de potenciação.

Se assim não for, no corpo dos números reais, estaríamos aceitando que:

$(-1)^\frac{2}{6} = \left( (-1)^\frac{1}{6} \right)^2 = 1 = (\sqrt[6]{-1})^2$ . Mas $\sqrt[6]{-1}$ não é um número real.

por **LuizAquino** » Dom Fev 12, 2012 12:22

fraol escreveu:Isso nos faz considerar a expressão expoente racional na forma irredutível para a definição desse tipo de potenciação.

Se assim não for, no corpo dos números reais, estaríamos aceitando que:

$(-1)^\frac{2}{6} = \left( (-1)^\frac{1}{6} \right)^2 = 1 = (\sqrt[6]{-1})^2$ . Mas $\sqrt[6]{-1}$ não é um número real.

Essa argumentação não procede, pois não se poderia fazer essa primeira passagem $(-1)^\frac{2}{6} = \left[ (-1)^\frac{1}{6} \right]^2$ no conjunto dos reais.

Ou seja, considerando o conjunto dos reais e sendo m e n inteiros (com n não nulo), temos que $a^{\frac{m}{n}} = \left(a^\frac{1}{n}\right)^m$ , apenas quando faz sentido calcular $a^\frac{1}{n}$ no conjunto dos reais.

por **fraol** » Seg Fev 13, 2012 23:21

Professor LuizAquino,

Antes de mais nada quero declarar que sou fã da sua matemática aqui no forum,
aprendo e reaprendo muito com as suas intervenções e gosto também daquele
bordão final "Agora termine o exercício".

Bom, retomei essa questão estar convicto que a resposta correta desse caso é -1.
Aliás, executei a expressão no Sage, wxMaxima, no Geogebra, no WolframAlpha,
na calculadora do Google, etc. e o resultado é -1.

Alguns colegas aqui do forum advogam que a resposta é 1, usando o argumento que

$\frac{2}{6} = \frac{2}{1} . \frac{1}{6}$ ,

então, também é verdade que

$\frac{2}{6} = \frac{1}{6} . \frac{2}{1}$ e, claramente, $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Como não podemos ter duas respostas distintas para um mesmo problema,
exceto em casos de aproximações, há que se recorrer a uma regra,
ou exceção de regra, que "regule" o assunto.

Minha conjectura a respeito é que em primeiro lugar
devemos simplificar o expoente, torná-lo uma fração irredutível.
Depois disso aplicamos as propriedades operatórias das potências
com expoente fracionário discutidas nas postagens acima. Aí incluídos
os casos da falta de sentido das raízes com radicando negativo e índice par.

Em outras palavras, estamos dizendo a mesma coisa mas
Em outras palavras.

Abraço.

por **MarceloFantini** » Seg Fev 13, 2012 23:30

Fraol, neste caso não é uma simples multiplicação de números, a ordem dos fatores é de importância fundamental. Veja que no wolfram a resposta é um imaginário:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 282%2F6%29

por **fraol** » Seg Fev 13, 2012 23:44

Oi MarceloFantini,

Sim, de fato é um número imaginário no qual uma das raízes, a real, é -1.

Quero que desculpem a insistência, a polemização. Meu intuito é dirimir dúvidas, inclusive as minhas.

por **MarceloFantini** » Seg Fev 13, 2012 23:51

Sem problemas. É verdade o que você falou sobre $\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{6}$ , mas isto não é verdade quando tomamos como potências. Este é um caso de a^x

com $a \neq 0$ apenas, em particular, a = -1

. A função exponencial complexa não preserva ordem e também em geral não é válido a propriedade que $(e^z)^w = e^{zw}$ .

por **LuizAquino** » Ter Fev 14, 2012 01:38

fraol escreveu:Antes de mais nada quero declarar que sou fã da sua matemática aqui no forum,
aprendo e reaprendo muito com as suas intervenções e gosto também daquele
bordão final "Agora termine o exercício".

Todos nós aprendemos muito aqui no fórum! É um ótimo espaço para trocarmos ideias!

Quando ao "bordão", é aquela velha história: o nosso objetivo básico aqui no fórum é tirar dúvidas e apontar os caminhos, não apenas resolver um exercício.

fraol escreveu:Bom, retomei essa questão estar convicto que a resposta correta desse caso é -1.
Aliás, executei a expressão no Sage, wxMaxima, no Geogebra, no WolframAlpha,
na calculadora do Google, etc. e o resultado é -1.

Na grande parte dos programas que você executar (-1)^(2/6) ele irá fazer o que foi programado nele: primeiro resolver a operação de divisão que aparece no expoente para só depois calcular a potenciação. Ele não fará qualquer análise em relação as propriedades de radiciação.

Vejamos novamente a seguinte propriedade de radiciação:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Agora note que podemos escrever sem qualquer problema o seguinte radical:

$\sqrt[6]{(-1)^2}$

Mas que operação devemos fazer primeiro? A radiciação ou a potenciação?

Ora, sabemos que é a potenciação, para só depois a radiciação. Primeiro calculamos (-1)^2

e de seu resultado calculamos a raiz sexta.

Agora usando a propriedade citada acima, aquela operação pode ser reescrita como:

$\sqrt[6]{(-1)^2} = (-1)^\frac{2}{6}$

Para essa identidade fazer sentido, ambos os lados da equação precisam assumir o mesmo valor.

Devemos então calcular $(-1)^{\frac{2}{6}}$ assim como fizemos antes: primeiro calculamos (-1)^2

e de seu resultado calculamos a raiz sexta. Em outras palavras, faremos:

$(-1)^{\frac{2}{6}} = \left[(-1)^2\right]^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2}$

por **timoteo** » Ter Fev 14, 2012 08:14

valor de (-1)^2/6.

bem, dei uma olhada no que foi dito e achei interessante as respostas. Gostaria de dizer que ao darem as respostas vcs tem que demonstrar o caminho que fizeram!

vamos la, eu fiz assim: (-1)^2/6 = (-1)^1/6 x (-1)^1/6 = $\sqrt[6]{(-1)^{1}}\sqrt[6]{(-1)^{1}}{\equiv}\sqrt[6]{(-1)}^{1}{(-1)}^{1}\Leftrightarrow \sqrt[6]{(-1)}^{2}$ . como sabemos ${(-1)}^{2}\equiv {(-1)}{(-1)}\equiv {1}$
como viram, se fizermos o caminho inverso, sem cortar resultados que achamos irrelevantes, chegamos a essa resposta.
espero ter ajudado, logo trarei um problema que quero a ajuda de todos!

por **joao_pimentel** » Ter Fev 14, 2012 08:36

Mais entropia

Eu discordo de todos vós

Eu acho que $(-1)^{2/6}$ nem é 1, nem -1, é um número complexo. Ora vejam:

$(-1)^{2/6}=e^{ln\left((-1)^{2/6}\right)}=e^{\frac{2}{6} ln(-1)}=e^{\frac{2}{6} i \pi}=e^{i \frac{\pi}{3}}$

Então!!!???

por **timoteo** » Ter Fev 14, 2012 15:48

eu estava observando a minha demonstraçao e encontrei um erro.

quando eu fiz: $\sqrt[6]{(-1)} \sqrt[6]{(-1)}$ = 1 ha um erro, pois quando o expoente é par e a base negativa, nao ha resoluçao no conjunto dos reais, vejamos: $\sqrt[2n]{-a} \equiv x$ entao ${x}^{2n} \equiv {-a}$ ,mas como sabemos todo numero real elevado ao quadrado é positivo.
isto posto, lamento informar que concordo com a resposta de Joao pimentel.

por **MarceloFantini** » Ter Fev 14, 2012 16:26

$1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i ^2 = -1$

Para mim o raciocínio é análogo. Não podemos efetuar a radiciação primeiro, e sim a potenciação.