Exercício de logaritmo

por **Aliocha Karamazov** » Seg Abr 11, 2011 22:15

Pessoal, não consigo encontrar uma solução para esse exercício:

Resolver a equação: $4x^{\log_{2}{x}}=x^3$

O problema é que eu não sei o que fazer com o 4, para deixar tudo na mesma base.

Agradeço a quem puder ajudar!

por **FilipeCaceres** » Seg Abr 11, 2011 22:36

Dica:
Faça,
$log_2 x=\frac{log_x x}{log_x 2}=log_x (x-2)$ , não se esqueça de cuidar com as condições de existência.
E sabendo que,
$a^{log_a b}=b$

Agora tente desenvolver o resto.

Abraço.

por **Aliocha Karamazov** » Seg Abr 11, 2011 23:06

Não entendi como você chegou a essa relação:

$\frac{log_x x}{log_x 2}=log_x (x-2)$

Eu conheço essa propriedade:

$\log_{a}{\left(\frac{b}{c}}\right)=\log_a b -\log_a c$

Não entendi bem o que você fez. Poderia explicar melhor? Obrigado.

por **FilipeCaceres** » Seg Abr 11, 2011 23:13

Desculpaaaa,

Viajei loucamente, fiquei pensando agora da onde eu tirei isso, acho que deve ter bebido algo quando postei :-O

Abraço.

por **Aliocha Karamazov** » Seg Abr 11, 2011 23:17

Sem problemas. Você consegue outra forma de resolver esse exercício?

por **Fabricio dalla** » Seg Abr 11, 2011 23:54

engraçado pega aquele expoente em logaritimo e faz que log de base 2 logaritimando x=y tem se $x={2}^{y}$
ai substitui que cai numa equaçao exponencial ai vc acha y´=1 e y''=2 eu acho que o unico que convem e o 2 prq e o unico que atende a propriedade que felipe tinha falado de uma base com expoente logaritimo etc..

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 12, 2011 00:35

Vou postar a dica do Fabricio detalhada.

Fazendo
$log_2 x=a \therefore x=2^a$

Assim temos,
$4x^{\log_{2}{x}}=x^3 \Rightarrow 4.(2^a)^a=(2^a)^3$
$2^2.2^{a^2}=2^{3a}$
$2^{2+a^2}=2^{3a}$

Logo,
a^2-3a+2=0