Inequação do segundo grau

por **Aliocha Karamazov** » Ter Abr 05, 2011 21:42

E aí, pessoal. Estou com dúvida na seguinte questão:

Na reta real, o número 4 está situado entre as raízes de f(x)=x^2 +mx -28

. Nessas condições, os possíveis valores de m são tais que:

Olhem como eu tentei:

$\Delta=\frac{-m \pm\sqrt{m^2 +112}}{2}\Rightarrow x^\prime=\frac{-m-\sqrt{m^2 +112}}{2}$ e $x^\prime^\prime=\frac{-m+\sqrt{m^2 +112}}{2}$

E agora? Tenho que resolver $x^\prime<4$ e $x^\prime^\prime>4$ ? A resposta seria a intersecção dos dois? Isso me pareceu estranho. Não tenho certeza se está certo; deve haver uma maneira melhor. Obrigado a todos que puderem ajudar. Abraço!

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 05, 2011 23:08

Olá Aliocha Karamazov,

Seja a função f(x)=ax^2+bx+c

e $\alpha$ um valor real que vamos compara com as raízes $x_1 \leq x_2$

1)Se $\alpha<x_1\leq x_2$ então $\alpha$ está à esquerda das raízes. $a.f(\alpha)>0$
2)Se $x_1<\alpha<x_2$ então $\alpha$ está entre as raízes. $a.f(\alpha)<0$
3)Se $x_1\leq x_2, \alpha$ então $\alpha$ está à direita das raízes. $a.f(\alpha)>0$
4)Se $\alpha =x_1$ ou $\alpha=x_2$ então $\alpha$ é um das raízes. $a.f(\alpha)=0$

OBS.: Para 1,3,4 devemos ter $\Delta\geq 0$ e para 2 $\Delta> 0$

Com isso já é possível resolver a questão.
Seja $\alpha=4$ e a=1

Temos,

e $\Delta>0$ observe que para qualquer valor de m teremos $\Delta>0$ , sendo assim, não precisamos nos preocupar com ele.

Agora basta calcular 1.f(4)<0

onde temos,
16+4m-28<0

Portanto,

.

Espero que seja isso.

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 05, 2011 23:15

Pensei que tivesse feito algo errado, mas acho que é isso.

Abraço.

por **Aliocha Karamazov** » Qua Abr 06, 2011 18:16

A resposta está correta, mas não entendi de onde você tirou as afirmações 1, 2, 3 e 4. Se alguém puder esclarecer, ficarei grato.

por **Aliocha Karamazov** » Qua Abr 06, 2011 18:51

Desenhei as parábolas para tentar entender o que você disse e consegui visualizar. Você viu essa relação em algum livro ou foi uma sacada sua mesmo? Achei bem eficiente.