derivada

por **sandra silva** » Seg Set 29, 2008 20:01

Me ajudaem ae umaurgencia
provar que:
[sen(x)]^(5) = cos(x)

por **Molina** » Ter Set 30, 2008 00:53

Boa noite, Sandra.

Nunca fiz essa prova elevada a 5, apenas provei que (sen x)` = cos x

. Vou postar aqui, espero que te ajude:

$\frac{d}{dx}[senx]\Rightarrow \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x)-sen(x)}{h}= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(x)(cos(h)-1)+sen(h)cos(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(x)(cos(h)-1)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)cos(x)}{h}= sen(x) \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(cos(h)-1)}{h} + cos(x) \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)}{h}$

agora vamos por parte:

$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{cos(h)-1}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{{cos}^{2}(h)-1}{h(cos(h)+1)}= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{-sen(h)}{h(cos(h)+1)}= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)}{h}.\lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)}{cos(h)+1} = - \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)}{h}.\lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)}{cos(h)+1}= -1.\frac{sen(0)}{cos(0)+1}= 1.0 = 0$

levamos em consideração o limite fundamental $\lim_{x\rightarrow h} \frac{sen(h)}{h}=0$

voltando a nossa conta:

$sen(x) \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(cos(h)-1)}{h} + cos(x) \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)}{h}=$
senx . 0 + cosx . 1 = cos x