equação exponencial

por **vinicius cruz** » Qua Mar 16, 2011 18:06

a soma das raizes da equação 4*3^|5x-2|-9^|5x-2|=3 em R vale:

a) 3/5
b) 4/5
c) 6/5
d) 7/5
e) 8/5

nao tenho a resposta certa

por **Elcioschin** » Qua Mar 16, 2011 20:26

4*3^|5x-2| - 9^|5x-2|= 3

4*3^|5x-2| - (3²)^|5x-2| = 3

4*3^|5x-2| - (3^|5x-2|)² = 3

(3^|5x-2|)² - 4*3^|5x-2| + 3 = 0 ----> Equação do 2º grau na variável 3^|5x - 2|

Discriminante ----> D = b² - 4ac ----> D = (-4)² - 4*1*3 ----> D = 4 ----> V(D) = 2

Raízes -----> 3^|5x- 2| = (4 + - 2)/2 ---->

3^|5x - 2| = 3¹ ----> |5x - 2| = 1 ----> x = 1/5 ou x = 3/5

3^|5x - 2| = 1 = 3^0 ----> |5x - 2| = 0 ----> x = 2/5

S = 1/5 + 3/5 + 2/5 ----> S = 6/5 ----> Alternativa C

por **MarceloFantini** » Qua Mar 16, 2011 20:28

Seja

. Então:

$4 \cdot 3^t - 3^{2t} = 3$

Seja 3^t = k

. Então:

$4k - k^2 = 3 \Rightarrow k^2 -4k +3 = 0 \Rightarrow k_1 = 1 \text{ e } k_2 = 3$

Logo, 3^t = 1

ou

. Assim:

ou

. Voltando ao começo:

|5x-2| = 0

ou

.

Portanto, $x = \frac{2}{5}$ ou $x = \frac{3}{5}$ ou $x = \frac{1}{5}$ . Somando: $S = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

P.S.: Resolvemos juntos Elcio, haha.